LTFY.01.004 Füüsika praktikum I - mehaanika ja soojusõpetus

Kaasaegne, tõenäosusteoreetilise sisuga mõiste mõõtmistulemuse usaldatavuse väljendamiseks on mõõtemääramatus. Sel juhul mõõteviga vaadeldakse kui juhuslikku suurust, mida karakteriseerib teatav jaotusfunktsioon (nt normaaljaotus). Viimase laius (teatud usaldusnivool) karakteriseeribki mõõtemääramatust. Selles kontekstis mõõteväärtus ise on mõõdetava suuruse tõenäoseim (mitte tegelik) väärtus.

Vananenud, aga matemaatiliselt mõnevõrra lihtsam kontseptsioon on piirviga. Sel juhul eeldatakse, et iga mõõteväärtuse $x$ jaoks on võimalik tuvastada selline maksimaalne veamäär $\Delta x$, et mõõdetava suuruse tegelik väärtus jääb kindlasti vahemikku $x-\Delta x\ldots x+\Delta x$. Üldistatult saab ka seda mõistet kirjeldada mõõtemääramatuse raamides, näiteks käsitledes mõõteviga alluvana ristkülik- või kolmnurkjaotusele.

Mõõtemääramatus

• Kui üht ja sama füüsikalist suurust $x$ on mõõdetud mitu korda (identsetes tingimustes, süstemaatilist viga tegemata), siis parim hinnang selle suuruse väärtusele on saadud mõõdiste keskväärtus $\bar x$. Viimase empiiriline standardhälve annab statistilise ehk A-tüüpi määramatuse $$u_A(x)=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}{n(n-1)}}.$$
• Kui on vaid üks mõõdis $x$ koos piirveaga $\Delta x$, siis täpsema info puudumisel tuleb järeldada, et füüsikalise suuruse tegelik väärtus võib olla võrdse tõenäosusega mistahes väärtus vahemikus $x-\Delta x\ldots x+\Delta x$. Sellisel eeldusel on standardhälve $u_B(x)=\Delta x/\sqrt{3}$ (B-tüüpi määramatus). Piirvea $\Delta x$ rollis võib olla näiteks mõõteriista absoluutpõhiviga (mis omakorda leitakse seadme täpsusklassi kaudu).
• Kui suurus $z$ arvutatakse teatud valemiga suuruste $x$ ja $y$ kaudu ja viimaste standardmääramatused $u(x)$ ja $u(y)$ on teada, siis suuruse $z$ standardmääramatuseks kujuneb $$u(z)=\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}u(x)\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}u(y)\right)^2}.$$ Mõned olulised erijuhud:
  • Kui $z$ sõltub vaid ühest muutujast $x$, siis $u(z)=\left|\frac{\partial z}{\partial x}\right|u(x)$
  • Kui antud mõõteriistaga mõõtmisel on olemas nii juhuslik kui ka süstemaatiline määramatuse komponent, siis liitmääramatus $u(x)=\sqrt{u_A(x)^2+u_B(x)^2}$
• Viimaks arvutame laiendmääramatuse, tüüpiliselt 95%-lise usaldusnivoo jaoks. Selleks tuleb, eeldusel et mõõteviga allub normaaljaotusele, korrutada standardmääramatus teguriga 1,96.
• Mõõtmistulemuse esitame vahemikhinnanguna kas kujul (9,781 ± 0,029) m/s² või kujul 9,781(29) m/s², koos usaldusnivooga. Määramatuse väärtuses säilitame kõige rohkem kaks tüvenumbrit ja ümardame alati ülespoole.

Piirviga

• Iga otsemõõtmise $x$ jaoks tuleb hinnata selle piirviga $\Delta x$ (nt mõõteriista täpsusklassi kaudu).
• Võib juhtuda, et mõni mõõtmistulemus on saadud statistilise analüüsi tulemusena ja selle jaoks on teada hoopis empiiriline standardhälve. Üldjuhul ei ole võimalik standardhälbe pealt üle minna piirveale, sest viimane vastab tüüpiliselt 100%-lisele tõenäosusele. Siiski, näiteks normaaljaotuse korral 3-kordne standardhälve vastab juba 99,7%-lisele tõenäosusele.
• Kui suurus $z$ arvutatakse teatud valemiga suuruste $x$ ja $y$ kaudu ja viimaste piirvead $\Delta x$ ja $\Delta y$ on teada, siis suuruse $z$ piirveaks kujuneb $$\Delta z =\left|\frac{\partial z}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial z}{\partial y}\right|\Delta y.$$ Mõned olulised erijuhud:
  • Summa või vahe arvutamisel liidetavate piirvead liituvad, $\Delta z=\Delta x + \Delta y$
  • Korrutise või jagatise arvutamisel liituvad suhtelised piirvead, $\frac{\Delta z}{z}=\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}$
• Mõõtmistulemuse esitame endiselt vahemikhinnanguna. Piirvea mõiste vihjab automaatselt, et usaldusnivoo on praktiliselt 100%.

Lisamärkused

• B-tüüpi määramatusel võib olla mitu allikat. Analoognäiduga seadme korral on üheks komponendiks lugemi võtmise täpsus. Selleks võetakse sageli pool vähima jaotise suurusest (nt joonlaua korral 0,5 mm). Samas, mõõdulindiga piisavalt pikki distantse mõõtes hakkab domineerima hoopis mõõdulindi enda valmistamise täpsus. Vastav mõõteviga kasvab ilmselt proportsioonis mõõdetava pikkusega (selle määrab mõõdulindi täpsusklass). Neist kahest esimene (näidu väljalugemise täpsus) muutub irrelevantseks kordusmõõtmiste teostamisel (asendub A-tüüpi määramatusega).
• On mõeldav, et mõne füüsikalise suuruse väärtus ja selle A-tüüpi määramatus saadakse mitte lihtsalt keskväärtuse kaudu, vaid mõne keerulisema mudeli sobitamisest katseandmetega. Oletagem näiteks, et on mõõdetud hulk katsepunkte $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, … $(x_n, y_n)$, kusjuures $x$ ja $y$ tegelike väärtuste vahel eksisteerib eeldatavasti rangelt lineaarne seos ($y=ax+b$) ja vaid sõltuva muutuja mõõtmisel tekib ühetaoline juhuslik (normaaljaotusele alluv) viga. Sel juhul sirge tõusu koos standardmääramatusega saab hinnata valemitega $$a = \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2},\quad u(a)=\frac{s}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2}},$$ kus $$s=\sqrt{\frac{\sum (y_i-ax_i-b_i)^2}{n-2}},\quad b=\bar y - a \bar x.$$
• Digitaalse mõõteriista korral tulemuse täpsus võib sõltuda sellest, kas mõõdetakse füüsikalist suurust ennast või selle (väikest) muutu. Olgu meil näiteks termomeeter, mille täpsus on 1 K ja eraldusvõime 0,1 K. Siis temperatuuri muutuse registreerimisel määrab täpsuse pigem 0,1 K, mitte 1 K. Viimane on relevantne absoluutse temperatuuri mõõtmisel.

Juhendi koostas Valter Kiisk
Viimati muudetud 19.08.2023

Sisukord