\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 10. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Algjuured I.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida elementide $\overline {21}$, $\overline{22}$, $\overline{23}$, $\overline{27}$ ja $\overline{43}$ j\"argud r\"uhmas $U(\Z_{50})$. 
Kas m\~oni arvudest $21$, $22$, $23$, $27$ või $43$ on algjuur mooduli $50$ j\"argi?

\bigskip

\noindent 2. Olgu meil 78-st m\"angukaardist koosnev tarokaartide pakk. 
Nummerdame kaardid \"ulemi\-se\-st alumiseni numbritega $1,2,\ldots,78$. 
V\~otame pakist \"ulemise poole ja asetame lauale alumisest 
poolest paremale. Moodustame uue kaardi\-paki, v\~ottes j\"arjest 
ülemisi kaarte vasakpoolsest ja parempoolsest pakist. Sellisel 
viisil kaardipaki segamist illustreerib j\"argmine tabel:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
koht vanas pakis & 1 & 2 & 3 & \ldots & 39 & 40 & 41 & 42 & 
43 & \ldots & 78 \\ \hline
koht uues pakis & 2 & 4 & 6 & \ldots & 78 & 1 & 3 & 5 & 
7 & \ldots & 77 \\ \hline
\end{tabular}.
\end{center}
Mitu korda peab pakki niimoodi segama, et kaardid oleksid 
j\"alle esialgses j\"arjekorras? 

\bigskip

\noindent 3. Näidata otse, {\bf kõiki} jäägiklassiringi $\mathbb{Z}_{32}$ elemente järjest astendades, et mooduli $32$ järgi ei leidu algjuuri. 

\bigskip

\noindent 4. Leida kõik algjuured moodulite $9$, $12$, $14$, $16$ ja $18$ järgi. 

\bigskip

\noindent 5. Olgu $a$ algjuur algarvulise mooduli $p>2$ järgi. Leida piisav ja tarvilik tingimus selleks, et arv $-a$ oleks samuti algjuur mooduli $p$ järgi. 

\bigskip

\noindent 6. Tõestada, et suvalise $n\in\N$ korral on arvu $n^4+1$ \emph{paaritud} algtegurid kujul $8k+1$.

\bigskip

\noindent 7. Kasutades fakti, et algarvulise mooduli järgi leidub algjuuri, tõestada \\\emph{Wilsoni teoreem}:
$p\in\N$ on algarv siis ja ainult siis, kui 
$$
(p-1)!\equiv -1 \pmod{p}.
$$

\smallskip

\noindent 8. Olgu $p$ algarv ja $a$ algjuur mooduli $p^2$ järgi. Tõestada, et siis $a$ on algjuur ka mooduli $p$ järgi. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $n\in\N$. Tõestada, et leiduvad $a_0,a_1,\ldots,a_{2020}\in\Z$ nii, et $a_0=0$, $a_{2020} = n$ ja iga $0\leq k\leq 2019$ korral kas $a_{k+1}= a_l+2^m$, $l\leq k$, $m\in\N$, või  $a_{k+1}\equiv a_l \pmod{a_m}$, $l,m<n$, $l\neq m$, $a_l>0$, $a_m>0$.  

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Olgu $p$ algarv ja olgu iga naturaalarvu $i$ korral $r_i$ jääk, mis tekib arvu $i^i$ jagamisel arvuga $p$. Tõestada, et jada $(r_i)$ on perioodiline ja leida selle perioodi minimaalne pikkus. 

\end{document}