\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 11. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Algjuured II.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida kõik algjuured mooduli $41$ järgi.

\bigskip

\noindent 2. Teha kindlaks, kas mooduli $n$ järgi leidub algjuuri ja kui leidub, siis leida nende arv ja üks algjuur, kui $a)\, n=105,$ $b)\, n=106$, $c)\, n=107$.
\bigskip

\noindent 3. Teha kindlaks, kas mooduli $n$ järgi leidub algjuuri ja kui leidub, siis leida nende arv ja üks algjuur, kui $a)\, n=250,$ $b)\, n=252$, $c)\, n=254$.

\bigskip

\noindent 4. Olgu $p>2$ algarv, $a\in\Z$, $k\in \N$ ja $a^k$ algjuur mooduli $p$ järgi. Tõestada, et ka $a$ on algjuur mooduli $p$ järgi. 

\bigskip

\noindent 5. Lahendada kongruents $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7\equiv 0 \pmod{41}.$

\bigskip

\noindent 6. Olgu $p$ algarv kujul $p=2q+1$, kus $q$ on kahest suurem algarv. Näita, et kui $a$ on naturaalarv vahemikus $1<a<p-1$, siis $p-a^2$ on algjuur mooduli p järgi.

\bigskip

\noindent 7. Tõestada, et mistahes paaritu $p\in \mathbb{P}$ korral leidub $1<a<p$ nii, et $a$ on korraga algjuur kõigi moodulite jaoks, mis on kujul $p^k$, $k\in \mathbb{N}$.

\bigskip

\noindent 8. Olgu $p$ algarv. Leida jääk, mis tekib kõigi algjuurte (mooduli $p$ järgi) korrutise jagamisel arvuga $p$. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $p>2$ algarv ja $a\not\equiv 0,1,-1 \pmod{p}$. Tõestada, et kongruentsil $a^x=1 \pmod{p^x}$ on ainult lõplik arv lahendeid.  

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et iga naturaalarvu $n$ korral on jadas $1+n, 1+2n, 1+3n,...$ lõpmata palju algarve.

\end{document}