\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 12. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Algjuured III.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida arvu $4$ indeks \emph{kõigil} võimalikel alustel mooduli 19 järgi. 

\bigskip

\noindent 2. Koostada indeksite tabel alusel 3 mooduli 25 järgi. 

\bigskip

\noindent 3. Leida  $\mathrm{ind}_{13}3$ mooduli 25 järgi. Kasutades saadud indeksit, koostada indeksite tabel alusel 13 mooduli 25 järgi.

\bigskip

\noindent 4. Leida kõigi rühma $U(\Z_{31})$ elementide järgud ja kõik algjuured mooduli 31 järgi indeksite tabeli abil. 

\bigskip

\noindent 5. Lahendada kongruents $2019\cdot x^{2020}\equiv 2022\pmod{31}$ indeksite tabeli abil.  

\bigskip

\noindent 6. Leida, milliste arvude $1\leq a\leq 25$ korral on kongruents $x^8\equiv a\pmod{p}$ lahenduv korraga \emph{kõigi} moodulite $p=11,13,25$ järgi.

\bigskip

\noindent 7. Olgu $p>2$ algarv ja $a$ algjuur mooduli $p$ järgi. Leida $$\ind_a\, 2\cdot\ind_a\, 3\cdot\ldots\cdot\ind_a\, (p-1)\pmod{p}.$$

\bigskip

\noindent 8. Olgu $p>2$ algarv. Tõestada, et $\frac{p-1}{2}$ on algjuur mooduli $p$ järgi parajasti siis, kui $2(-1)^{\frac{p-1}{2}}$ on algjuur mooduli $p$ järgi.

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $p>2$ algarv ja $A$ rühma $\Z_p^*$ alamrühm, kusjuures $6\mid |A|$. Tõestada, et leiduvad $a,b,c\in A$ nii, et $a+b=c$. 

\bigskip

\noindent 10${^{*}}$. Olgu $n\in\N$. Tõestada, et leidub lõpmata palju selliseid algarve $p$, et mooduli $p$ järgi vähim positiivne algjuur $a>n$.

\end{document}