\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 13. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Ruutjäägid I.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida otse, pööratavate elementide ruute järjest välja arvutades, kõik ruutj\"a\"agid mooduli $23$ j\"argi.

\bigskip

\noindent 2. Leida kõik ruutj\"a\"agid mooduli $19$ j\"argi Euleri kriteeriumi abil.

\bigskip

\noindent 3. Leida kõik ruutj\"a\"agid mooduli $29$ j\"argi Legendre'i sümboli omaduste abil.

\bigskip

\noindent 4. Millised järgmistest kongruentsidest on lahenduvad ja mitu lahendit neil on (kui üldse on):

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}}
a) $x^2\equiv -1 \pmod{17}$;&b) $x^2\equiv 8 \pmod{19}$;\\
c) $x^2\equiv -2 \pmod{2017}$;&d) $x^2\equiv -8 \pmod{2019}$;\\
e) $x^2\equiv -2 \pmod{2018}$;&f) $x^2\equiv 19 \pmod{2020}$.\\
\end{tabular}

\bigskip

\noindent 5. Leida kõik algarvud $p$, mille korral $-18$ on ruutjääk mooduli $p$ järgi. 

\bigskip

\noindent 6. Olgu $a,b\in\N$ ja vaatleme aritmeetilist jada $a+kb$, $k\in\N$. Leida piisav ja tarvilik tingimus selleks, et antud jada sisaldaks lõpmata palju täisruute. 

\bigskip

\noindent 7. Tõestada, et iga algarvu $p>2$ korral leiduvad $x,y\in\Z$ nii, et $$-1\equiv x^2+y^2\pmod{p}.$$

\bigskip

\noindent 8. Olgu $p>5$ algarv. Tõestada, et leiduvad sellised täisarvud $k$ ja $l$, et $k$ ja $k+1$ on mõlemad ruutjäägid ning $l$ ja $l+1$ on mõlemad mitteruutjäägid mooduli $p$ järgi.  

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $p>2$ algarv. Leida, mitu ruutjääki $a$ mooduli $p$ järgi on sellised, et ka $a-1$ on ruutjääk. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et arvul $2^{3^n}+1$ on vähemalt $n$ erinevat algtegurit kujul $8k+3$. 

\end{document}