\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 14. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Ruutjäägid II.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida Jacobi s\"umboli v\"a\"artus: \hskip5pta) $\left(\frac{667}{941} \right)$,  \hskip5ptb) $\left(\frac{451}{691} \right)$, \hskip5pt 
c) $\left(\frac{8439}{6661} \right)$.

\bigskip

\noindent 2. Leida, milliste algarvuliste moodulite $p$ järgi on arv 3 ruutjääk ja milliste järgi on arv 5 ruutjääk. 

\bigskip

\noindent 3. Olgu $a$ täisarv ja $n$ naturaalarv, kusjuures $n\equiv 3\pmod{8}$. Tõestada, et kui $\left(\frac{a}{n} \right)=-1$, siis kongruents $x^2+4a(x+2)+4a^2\equiv 0\pmod n$ ei ole lahenduv. Kas kehtib ka vastupidine väide?

\bigskip

\noindent 4. Leida võrrandi $6x^2-8xy+10y^2 = 2018$ täisarvuliste lahendite arv. 

\bigskip

\noindent 5. Tõestada, et iga algarvu $p>7$ korral leidub kaks järjestikust ruutjääki. 

\bigskip

\noindent 6. Tõestada ilma Dirichlet' teoreemi kasutamata, et leidub lõpmata palju algarve kujul $8k+5$. 

\bigskip

\noindent 7. Olgu $p>2$ algarv. Tõestada, et vähim positiivne \emph{mitte}ruutjääk mooduli p järgi ei saa olla kordarv. Leida selle fakti abil vähim algarv, mille jaoks 7 on vähim positiivne mitte\-ruutjääk. 

\bigskip

\noindent 8. Tõestada, et iga algarv $p$ on mingi algarvu $q$ jaoks vähim positiivne mitte\-ruutjääk. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Leida, millised algarvud on avaldatavad kas kujul $m^2-3n^2$ või $3m^2-n^2$. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Olgu $a$ täisarv ja $p>2$ algarv. Leida kongruentsi $$x^2+y^2+z^2\equiv 2axyz\pmod{p}$$ lahendite $(x,y,z)$ arv. 

\end{document}