\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 16. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Kordamine II.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Tõestada, et kui $n\in\N$, siis $[1,2,\ldots,2n]=[n+1,n+2,\ldots,2n].$

\bigskip

\noindent 2. Tõestada, et iga $n\in\N$ korral $2^n\mid (n+1)(n+2)\ldots(n+n)$. 

\bigskip

\noindent 3. Leida diofantilise võrrandi $4x+6y+10z = 146$ positiivsete lahendite arv. 

\bigskip

\noindent 4. Leida kõik algarvud $p$, mille korral  $p\mid 6^p(p-4)!+10^{3p}$.

\bigskip

\noindent 5. Leida ringi $\Z_{691488}$ kõigi selliste elementide $\overline{x}$ arv, mille korral $x^2\equiv x\pmod{691488}$. 

\bigskip

\noindent 6. Tõestada, et diofantiline võrrand $x^2+5=y^3$ ei ole lahenduv.

\bigskip

\noindent 7. Leida kõik naturaalarvud $n$, mille korral $\prod\limits_{d\mid n }d=n^3$.

\smallskip

\noindent 8. Lahendada kongruents $$3x^4+3x^3+4x^2+x+64\equiv 0 \pmod{875}.$$

\smallskip

\noindent 9. Teha kindlaks, kas mooduli $n$ j\"argi leidub algjuuri ning 
kui leidub, siis leida nende arv ja \"uks algjuur, kui \\
{${}_{}$}\hskip1.5cm
 a) $n=509$, \hskip0.5cm b) $n=512$, \hskip0.5cm c) $n=515$, \hskip0.5cm d) $n=686$.

\bigskip

\noindent 10. Lahendada kongruents $1-x+x^2-x^3+x^4-\ldots+x^{2030} \equiv 0 \pmod{162}$

\bigskip

\noindent 11. Olgu $p$ ja $q$ erinevad paaritud algarvud ja $a\in\Z$ ruutjääk mooduli $pq$ järgi. Tõestada, et võrrandil $x^2\equiv a\pmod{pq}$ on täpselt neli lahendit. Kas see väide jääb kehtima ka siis, kui $p$ ja $q$ on võrdsed?

\bigskip

\noindent 12. Kasutades loengukonspekti näites 9.8 toodud skeemi neljatäheliste (st. kaheksa\-numbriliste) blokkide jaoks ja mooduli väiksust, dekodeerida avaliku võtmega $(89942987,677)$ kodeeritud RSA sõnum $$19103293 48524460 01905752 59093791.$$ 

\end{document}