\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 1. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Jaguvus. }
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Tõestada, et kui $a,b,c,d,n\in\mathbb{Z}$, $(a,n)=1$, $n\mid a-b$ ja $n\mid ac-bd$, siis $n\mid c-d$. 

\bigskip

\noindent 2. Tõestada, et iga naturaalarvu $n$ korral $60\mid n^5-5n^3+4n$. 

\bigskip

\noindent 3. Leida kõik täisarvud $a$, mille korral $a-3\mid a^4-17$.

\bigskip

\noindent 4. Kolimisfirma kasutab ainult kuubikujulisi kaste. Matemaatika\-teaduskonna uude majja kolimisel ilmnes huvitav tõsiasi, et kõik nende pakid sai ladustada nii kolme ruuduna kui kahe kuubina. Leida vähim võimalik matemaatikutele kuulunud kuubikute arv. 

\bigskip

\noindent 5. Leida vähim selline naturaalarv $n$, mille korral arvude $n-1$ ja $n$ rist\-summad mõlemad jaguvad arvuga 11. 

\bigskip

\noindent 6. Piki ringjoont kirjutatakse j\"arjestikku arvud 
1 kuni 2040. Alustades arvust 1, tõmmatakse maha iga 
neljas arv (s.t. 1, 5, 9, 13, ...). 
Ringjoont pidi liigutakse senikaua, kuni arv 1 
saab teist korda maha tõmmatud. Seejärel korratakse protsessi iga kuuenda arvu jaoks (st tõmmatakse maha arvud 1, 7, 13, 19, ...). Mitu arvu j\"a\"ab maha tõmbamata?

\bigskip

\noindent 7. Tõestada, et ükski arv jadas $99,999,9999,99999, \ldots$ ei ole täisruut. 

\bigskip

\noindent 8. Tõestada, et kui $m\mid n$, siis $F_m\mid F_n$. Siin $F_n$ on $n$. Fibonacci arv, st $F_0=0, F_1=1$ ja $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$.

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Leida kõik võimalikud $m,n\in\N$ nii, et $\frac1m+\frac1n=\frac{2}{2019}$. 
%

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et $n!\mid\prod\limits_{k=0}^{n-1}(2^n-2^k)$. 

\end{document}