\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
%\usepackage{xypic}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

%\def\d#1{\textbf{Definitsioon #1}}
\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 2. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. Eukleidese algoritm. Võrrand $ax+by=c$.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida täisarvud $u$ ja $v$ nii, et $$(9828,-7350)=u\cdot 9828+v\cdot (-7350).$$

\smallskip

\noindent 2. Leida $(2020!,2^{2020})$.  

\bigskip

\noindent 3. Leida  $(n^3+3,n^2+2)$, kus $n$ on suvaline naturaalarv. 

\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et mistahes $a,b,c\in\N$ korral $[a,b,c] = \frac{abc\,(a,b,c)}{(a,b)(b,c)(c,a)}.$

\bigskip

\noindent 5. Olgu $a, m, n\in\N$. T\~oestada, et $(a^m-1,a^n-1) = a^{(m,n)}-1$. 

\bigskip

\noindent 6. Mitmel eri viisil on võimalik maksta 2019 liivrit ja 18 suud 24-liivriste müntide ($=480$ suud) ja 1573. aasta eküüdega ($=57$ suud)?

\bigskip

\noindent 7. Kolimisfirma kasutas matemaatikateaduskonna raamatute kolimisel 12-kiloseid plastmassist ja 20-kiloseid papist kaste (st kõik kastid täideti täpselt nominaalkaaluni ära). Kokku viidi ära 2020 kilo raamatuid. Leida kasutatud kastide koguarv, kui on teada, et raskemaid kaste oli rohkem ja algarv tükki ning kergemate kastide arv jagus kümnega. 

\bigskip

\noindent 8. T\~oestada, et mistahes arvude $m,n\in\N$ jaoks leidub v\~orrand $ax+by=c,$ $a,b,c\in\Z$, nii, et $x=m$, $y=n$ on selle v\~orrandi ainus naturaalarvuline lahend.

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\N$, $n\geq 2$. Muudame seda jada järgmise algoritmi abil: igal sammul leiame, kas mõne indeksipaari $i<j$ korral $a_i\not\hskip3pt\mid a_j$. Kui nii, siis asendame $a_i\to (a_i,a_j)$ ja $a_j\to [a_i,a_j]$. Tõestada, et see algoritm peatub ja lõpptulemus ei sõltu vahepealsetest indeksipaaride $(i,j)$ valikutest. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Leida funktsiooni $f(x,y,z)=|ax+by+cz+d|$, $a,b,c,d\in\Z$, minimaalne väärtus.

\end{document}