\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
%\usepackage{xypic}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 3. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Algarvud.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida k\~oik algarvud lõigus $[320, 400]$. Kas selles lõigus on alg\-arvukaksikuid?

\bigskip

\noindent 2. Olgu $n\in\N$ selline, et ülimalt üks selle algtegur $p$ rahuldab tingimust $p\leq \sqrt[3]{n}$. Leida kõik erinevad võimalused arvu $n$ algteguriteks lahutada ja tuua iga juhu kohta näide. 

\bigskip

\noindent 3. Tõestada, et kui $m^4+4^n$ on algarv, siis kas $m=n=1$ või $m$ on paaritu ja $n$ paarisarv. 

\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et leidub lõpmata palju algarve kujul 3k+2. 

\bigskip

\noindent 5. Tõestada Bonse võrratus: kui $n\geq 5$, siis $p_{n}^2<p_1p_2\ldots p_{n-1}$. 

\bigskip

\noindent 6. Tõestada Bertrand'i postulaati kasutamata, et $p_n\leq 2^{2^n}$, kus $p_n$ tähistab $n$. algarvu. 

\bigskip

\noindent 7. Tõestada, et rida $\sum\limits_{p\in\P}\frac1p$ hajub. 

\smallskip

\noindent 8. Leida kõik algarvud $p$ ja $q$ nii, et $p^2+9pq+q^2$ oleks täisruut. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Tõestada, et ükski arvudest $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n+1$, $n\in\N$, ei ole algarv. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et mistahes kolme järjestikuse seitsmest suurema naturaal\-arvu seas on vähemalt üks selline, millel on vähemalt kaks erinevat algtegurit.
\end{document}