\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 4. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Kongruentsi mõiste ja lihtsamad omadused.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. T\~oestada, et kui $ac\equiv bd \pmod{n}$, $c\equiv d \pmod{n}$ ja $(c,n)=1$, siis $a\equiv b\pmod{n}$. Tuua näide, kus eeldus $(c,n)=1$ ei ole täidetud ja seetõttu väide \mbox{ei kehti.}

\bigskip

\noindent 2. Leida j\"a\"ak, mis tekib arvu $(2019^{11}+2021^{64})^7$ jagamisel arvuga $19$. 

\bigskip

\noindent 3. Tõestada, et $13\mid 3^{2^n}+9^{2^n}+1$ iga naturaalarvu $n$ korral. 


\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et kui täisarv $a$ on korraga täisruut ja mõne teise täisarvu viies
aste, siis $a\equiv 0,1,11,34,44,45\pmod{55}$.

\bigskip

\noindent 5. Kas võrrandil $x^3-3^y=2021$ leidub naturaalarvulisi lahendipaare $x,y$? 

\bigskip

\noindent 6. Leida kõik $n\in\N$, mille korral $(n-1)! +1 = n^k$ mingi $k\in\N$ jaoks.

\bigskip

\noindent 7. 99-sse kolimiskasti oli pakitud aastate jooksul kogunenud lõpu-, magistri- ja doktoritööd, igaühte sama arv eksemplare. Kastivirna peal seisis kolimise käigus kannatada saanud silt ``Kokku $12\bullet\hskip-2pt\hskip-1pt\bullet\hskip-1pt\hskip-1pt\bullet\hskip-2pt7$ tööd''. Leida suuruselt kolmas võimalik tööde arv ühes kastis.  

\bigskip

\noindent 8. Arvud 200019 kuni 202020 kirjutatakse järjest üles. Kas niiviisi saadav täisarv $$200019200020\ldots202019202020$$ \vskip-1em\noindent jagub arvuga 7?

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Tõestada, et mistahes $n\geq 0$ korral $$\sum\limits_{i=0}^n{2n+1\choose 2i+1}2^{3i}\not\equiv 0\pmod{5}.$$

\smallskip

\noindent 10${^{**}}$. Leida kõik naturaalarvud $x$ ja $y$ nii, et $x^{y+1}-(x+1)^y=2001$. 

\end{document}