\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}

\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 5. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Jäägiklassiringid.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip

\bigskip

\noindent 1. Koostada ringi $\Z_{12}$ korrutustabel.

\bigskip

\noindent 2. Leida k\~oik ringi $\Z_{36}$ p\"o\"oratavad elemendid. 

\bigskip

\noindent 3. Leida elementide $\overline{12}$, $\overline{13}$, $\overline{14}$, $\overline{15}$, $\overline{16}$, $\overline{17}$ ja $\overline{18}$ vastandelemendid ning (kui need on olemas) pöördelemendid  ringis $\Z_{231}$. 

\bigskip

\noindent 4. Leida {\bf mõlema} ringi $\Z_{40}$ ja $\Z_{5}\times\Z_{8}$ jaoks k\~oik p\"o\"oratavad elemendid ning k\~oik nulli\-tegurid koos vastavate nulli tegurdustega (st. nulliteguri $a$ jaoks tuleb leida $b$ nii, et $ab=0$). Kas ringid $\Z_{40}$ ja $\Z_5\times\Z_{8}$ on isomorfsed? Miks?

\bigskip

\noindent 5. Leida ringi $\Z_{4}\times\Z_{8}$ k\~oik p\"o\"oratavad elemendid. Kas ringid $\Z_{32}$ ja $\Z_{4}\times\Z_{8}$ on isomorfsed? Miks? 

\bigskip

\noindent 6. Tõestada, et jäägiklassiringi $\Z_n$, $n\in\N$, mistahes aritmeetiline jada on perioodiline ja selle vähim periood on arvu $n$ jagaja. Näidata, et jäägiklassi\-korpuse $\Z_p$, $p\in\P$, mistahes geomeetriline jada on samuti perioodiline ja leida samasugune kriteerium vastava vähima perioodi jaoks.

\bigskip

\noindent 7. Leida ringi $\Z_n$ kõigi pööratavate elementide korrutis. 

\bigskip

\noindent 8. Jäägiklassiringi $\Z_n$ elementi $\overline{m}$ nimetatakse \emph{nilpotentseks} või \emph{nilpotendiks}, kui leidub arv $k\in\N$ nii, et $\overline{m}^k=\overline{0}$. Teha kindlaks, millised jäägiklassiringid sisaldavad nilpotentseid elemente ja kui palju neid sellises ringis kokku on. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Leida kõik täisarvud $n\geq 2$ nii, et ringis $\Z_n$ on täpselt üks element, mis {\bf ei ole} avaldatav kahe ruudu summana $\overline{a}^2+\overline{b}^2$.

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Kui mitmel eri viisil on võimalik nulli teguriteks lahutada ringis $\Z_{3^n}$, $n\in\mathbb{N}$? Tegurdused $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{0}=\overline{b}\cdot\overline{a}$ loetakse erinevateks, kui $\overline{a}\neq\overline{b}$. 

\end{document}