\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 6. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Arvuteoreetilised funktsioonid.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Millega on v\~ordne summa  {\small \[S=\varphi (2)+\varphi (3)+\varphi (4)+\varphi (5)+\varphi (6)+\varphi (7)+\varphi (8)+\varphi (10)+\varphi (12)+\varphi (15)+\varphi(20)+\varphi(24)+\varphi (30)+\varphi(40)?\]}

\vskip-1.25em

\noindent 2. Kui palju on selliseid naturaalarve, mis ei ole suuremad kui $2345$ ja mille 
suurim \"uhistegur arvuga $2233$ on väiksem kui $123$?

\bigskip

\noindent 3. Leida arvu $$2022^{(2021^{2020})}$$ kolm viimast kümnendnumbrit. 

\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et \mbox{$a^{61}\equiv a\pmod{2015}$} iga $a\in\Z$ korral.  

\bigskip

\noindent 5. Leida kõik $n\in\N$, mille korral $\varphi(\varphi(n))=1$. 

\bigskip

\noindent 6. Leida kõik $n\in\N$, mille korral $\varphi(n)+\tau(n)>n$. 

\bigskip

\noindent 7. Tõestada, et täiuslikul arvul ei saa olla täpselt kahte {\bf erinevat} paaritut alg\-tegurit. 

\bigskip

\noindent 8. Tõestada, et iga naturaalarvu $n$, tema positiivsete jagajate $d$ ja algtegurite $p$ korral $$\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)^2\cdot \varphi(d)^2=\prod\limits_{p\mid n}(1+(p-1)^2).$$ 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=24$ ja kui $i\geq 4$, siis $$a_i=\frac{2a_{i-1}(3a_{i-1}a_{i-3}-4a_{i-2}^2)}{a_{i-2}a_{i-3}}.$$ Tõestada, et $i\mid a_i$ iga $i\in \N$ korral. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Leida kõik naturaalarvud $n$, mille korral $\varphi(n)\mid n^2+3$.

\end{document}