\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 8. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Tundmatut sisaldavad kongruentsid.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Lahendada kongruents 
\[
2x^4+5x^3+2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{13}.
\]

\smallskip

\noindent 2. Tegurdada pol\"unoom  
\[
f(x)=2x^4+3x^2+4x+2
\] 
mooduli 7 j\"argi, s.t. \"ule korpuse $\Z_{7}$.

\bigskip

\noindent 3. Milliste $x$ täisarvuliste väärtuste korral on arvu $4x^4+3x^3+7x^2+x-9$ viimane kümnendnumber 3?

\bigskip

\noindent 4. Lahendada kongruents 
\[
2x^4+5x^3+2x^2+3x-21\equiv 0\pmod{81}.
\]

\smallskip

\noindent 5. Lahendada kongruents 
\[
2x^4+5x^3+2x^2+3x+6\equiv 0\pmod{51597}.
\]

\smallskip

\noindent 6. Lahendada m\~oistatus $\text{LEHV}\times \text{LEHV}=1\text{KSTREHV}$. (Iga {\bf täht} t\"ahistab \"uhte {\bf erinevat} konkreetset numbrit.)


\bigskip

\noindent 7. Olgu $p>3$ algarv. Lahendada kongruents 
\[
(p-2)x^{p-3}+(p-3)x^{p-4}+\ldots+3x^{2}+2x + 1 \equiv 0\pmod{p}.
\]

	
\smallskip

\noindent 8. Lahendada kongruents $x^3 = x \pmod{p^k}$, kus $p$ on algarv ja $k\in\N$. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $p>2$ algarv ja $a,b,c\in\Z$. Leida ruutkongruentsi $ax^2+bx+c\equiv 0\pmod{p^2}$ kõik võimalikud lahendite arvud ja tuua igaühe kohta neist näide. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Leida selline 2020. astme polünoom $p(x)\in\Z[x]$, et iga $x\in\N$ jaoks leidub $m\in\Z$ nii, et \vskip-25pt $$p(x)+p(x+1)+p(x+2)+p(x+3)+p(x+4)+p(x+5)+p(x+6) = m^5.$$ 

\end{document}