\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amscd}
\usepackage{lscape}
\usepackage{array}
\newtheorem{defi}{Definitsioon}[section]
\newtheorem{lemma}[defi]{Lemma}
\newtheorem{lause}[defi]{Lause}
\newtheorem{teoreem}[defi]{Teoreem}
\newtheorem{jareldus}[defi]{J\"areldus}

\def\b#1{\textsl{\textbf{#1}}}
\def\c{\cdots}
\def\l{\ldots{}}
\def\q{\hfill\square}
\def\toe{\textsc{T\~oestus.}$\;$}
\def\t{\textsc{Tarvilikkus.}$\;$}
\def\p{\textsc{Piisavus.}$\;$}
\def\inb#1{\in\mathbf{#1}}
\def\Xa{X_{\alpha}}
\def\xa{x_{\alpha}}
\def\ha{h_{\alpha}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2020} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 9. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Kordamine.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Tõestada, et mistahes $a\in \Z$ korral $455\mid a^{15}-a^3$.

\bigskip

\noindent 2. Leida suurim ühistegur $(a^2,b^3)$, kui on teada, et $(a,b)=6$, $a,b\in \Z$. 

\bigskip

\noindent 3. Kolimisautosse laaditi 3 liiki kaste: 18-kiloseid, 30-kiloseid ja 48-kiloseid. Auto kaalumisel leiti, et terve koorma kaal oli tonn ja 2 kg. Leida eri liiki kastide arvud, kui on teada, et need olid kõik algarvud.

\bigskip

\noindent 4. Leida kõik algarvud $p$, mis on esitatavad kujul $p=a^3-b^3$, $a,b\in\N$.

\bigskip

\noindent 5. Leida, milliste naturaalarvude $n$ korral on järgmine võrrand lahenduv \mbox{hulgas} \mbox{$\{(x,y,z)\in\Z\mid(x,y)=(y,z)=(z,x)=1\}$,} ja lahenduvatel juhtudel lahendada see ära:\vskip-25pt $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=n.$$

\smallskip

\noindent 6. Leida selliste seitsmekohaliste arvude koguarv, mis jaguvad arvuga 11 ja mille ristsumma on 59.  

\bigskip

\noindent 7. Lahendada \emph{diofantiline} võrrand $x^3-x^2+8=y^2$.

\bigskip

\noindent 8. Leida, mitu pööratavat elementi on ringides $\Z_{2024}$ ja $\Z_{44}\times \Z_{46}$. Kas ringid $\Z_{2024}$ ja $\Z_{44}\times \Z_{46}$ on isomorfsed? Miks?

\bigskip

\noindent 9. Leida kõik naturaalarvud $n$, mille korral $\varphi(n)=24$. 

\bigskip

\noindent 10. Tõestada, et kõik arvud kujul $(2^{n-1})(2^n-1)$, kus $n\in\N$ ja $2^n-1$ on (Mersenne'i) algarv, on täiuslikud.

\bigskip

\noindent 11. Lahendada kongruentside s\"usteem 
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
7x^2\equiv 8 & \pmod{40}\\
x^3\equiv 7 & \pmod{11}.
\end{array}
\right.
\]

\bigskip

\noindent 12. Lahendada kongruents $$4x^4+2x^2+x+20\equiv 0 \pmod{459}.$$ 

\end{document}