\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 11. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Algjuured II.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida kõik algjuured mooduli $54$ järgi.

\bigskip

\noindent 2. Teha kindlaks, kas mooduli $n$ järgi leidub algjuuri ja kui leidub, siis leida nende arv ja üks algjuur, kui $a)\, n=343,$ $b)\, n=345$, $c)\, n=347$.

\bigskip

\noindent 3. Teha kindlaks, kas mooduli $n$ järgi leidub algjuuri ja kui leidub, siis leida nende arv ja üks algjuur, kui $a)\, n=484,$ $b)\, n=482$, $c)\, n=486$.

\bigskip

\noindent 4. Lahendada kongruents $1-x^2+x^4-x^6+x^8-\ldots-x^{2022} \equiv 0 \pmod{54}$. 

\bigskip

\noindent 5. Leida kõik algarvud $p$, mille järgi on olemas täpselt 32 erinevat algjuurt. 

\bigskip

\noindent 6. Tõestada, et kui $p>2$ on algarv, siis mooduli $p$ järgi eksisteerib täpselt $\frac{p-1}{2}$ algjuurt siis ja ainult siis, kui $p$ on Fermat' algarv, st algarv kujul $2^k+1$.

\bigskip

\noindent 7. Tõestada, et mistahes algarvu $p>2$ ja naturaalarvu $k$ korral leidub algjuur $a$ mooduli $p^k$ järgi nii, et $1<a<p$. 

\bigskip

\noindent 8. Tõestada, et kui $p>2$ on algarv, siis kõigi erinevate algjuurte summa mooduli $p$ järgi on $\mu(p-1)$. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $p>2$ algarv ja $n\in\N$. Leida kõigi erinevate algjuurte $n$. astmete summa mooduli $p$ järgi. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et kui mooduli $n$ järgi ei leidu algjuuri ja $(x,n)=1$, siis $$x^{\frac{\varphi(n)}{2}}\equiv 1\pmod{n}.$$

\end{document}