\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 12. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Algjuured III.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida arvu $9$ indeks \emph{kõigil} võimalikel alustel mooduli 25 järgi. 

\bigskip

\noindent 2. Koostada indeksite tabel alusel 2 mooduli 27 järgi. 

\bigskip

\noindent 3. Leida  $\mathrm{ind}_{2}14$ mooduli 27 järgi. Kasutades saadud indeksit, koostada \linebreak indeksite tabel alusel 14 mooduli 27 järgi.

\bigskip

\noindent 4. Leida kõigi rühma $U(\Z_{38})$ elementide järgud ja kõik algjuured mooduli 38 järgi indeksite tabeli abil. Kontrollida vastust ilma astendamist kasutamata. 

\bigskip

\noindent 5. Milline kongruentsidest $14^{x^2}\equiv 2^2\pmod{27}$ ja $10^{x^{14}}\equiv 14^{10}\pmod{27}$ on lahen\-duv? Leida selle üldlahend.  

\bigskip

\noindent 6. Olgu $a$ algjuur mooduli $n$ järgi ja $\overline{b}\in U(\Z_n)$. Leida $\mathrm{\ind}\,(-b)$ ja $$\sum\limits_{\overline{c}\in U(\Z_n)}\mathrm{ind}\, c \pmod{\varphi(n)}.$$

\bigskip

\noindent 7. Leidugu mooduli $n$ järgi algjuuri ja olgu $\overline{a},\overline{b}\in U(\Z_n)$. Tõestada, et \linebreak kongruents $a^x \equiv b \pmod{n}$ on lahenduv parajasti siis, kui $b^m\equiv 1\pmod{n}$, kus $m$ on elemendi $\overline{a}$ järk rühmas $U(\Z_n)$. Kas väide jääb kehtima ka juhul, kui mooduli $n$ järgi {\bf ei} leidu algjuuri?

\bigskip

\noindent 8. Leidugu mooduli $n$ järgi algjuuri. Leida $\prod\limits_{\overline{b}\in U(\Z_n)}\mathrm{ind}\, b \quad \pmod{n}.$

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $p>2$ algarv ja $A$ rühma $\Z_p^*$ alamrühm, kusjuures $6\mid |A|$. Tõestada, et leiduvad $a,b,c\in A$ nii, et $a+b=c$. 

\bigskip

\noindent 10${^{*}}$. Olgu $n\in\N$. Tõestada, et leidub lõpmata palju selliseid algarve $p$, et mooduli $p$ järgi vähim positiivne algjuur $a>n$.

\end{document}