\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 13. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Ruutjäägid I.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida otse, pööratavate elementide ruute järjest välja arvutades, kõik ruutj\"a\"agid mooduli $31$ j\"argi.

\bigskip

\noindent 2. Leida kõik ruutj\"a\"agid mooduli $17$ j\"argi Euleri kriteeriumi abil.

\bigskip

\noindent 3. Leida kõik ruutj\"a\"agid mooduli $41$ j\"argi Legendre'i sümboli omaduste abil.

\bigskip

\noindent 4. Millised järgmistest kongruentsidest on lahenduvad ja mitu lahendit neil on (kui üldse on):

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}}
a) $x^2\equiv -1 \pmod{41}$;&b) $x^2\equiv 2 \pmod{43}$;\\
c) $x^2\equiv -2 \pmod{2019}$;&d) $x^2\equiv 8 \pmod{2024}$;\\
e) $x^2\equiv -8 \pmod{2027}$;&f) $x^2\equiv 24 \pmod{2022}$.\\
\end{tabular}

\bigskip

\noindent 5. Olgu $n$ täisruut, millel on paarisarv kümnendnumbreid ja mille tagurpidi üleskirjutamisel saadakse samuti täisruut (näiteks 9801). \mbox{Tõestada, et $121\mid n$.}

\bigskip

\noindent 6. Olgu $p>2$ algarv. Leida kõigi ruutjääkide korrutis {\bf ja} kõigi mitte\-ruutjääkide korrutis mooduli $p$ järgi.

\bigskip

\noindent 7. Olgu $p>5$ algarv. Tõestada, et leiduvad sellised täisarvud $k$ ja $l$, et $k$ ja $k+1$ on mõlemad ruutjäägid ning $l$ ja $l+1$ on mõlemad mitteruutjäägid mooduli $p$ järgi.  

\bigskip

\noindent 8. Olgu $p$ algarv kujul $4k+1$ ja $n$ vähim positiivne mitteruutjääk mooduli $p$ järgi. Tõestada, et $p > 2n^2-n$. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $p$ algarv kujul $4k+3$, $k\in\{0\}\cup\N$, ja olgu $n$ kõigi selliste ruutjääkide $a$ arv mooduli $p$ järgi, mille korral $0<a<\frac{p}{2}$. Leida järgmiste korrutiste väärtused jäägiklassikorpuses $\Z_p$ arvu $n$ kaudu: 
$$A=\overline{1}\cdot \overline{3}\cdot \overline{5}\cdot\ldots\cdot \overline{p-2}\quad\quad\text{ja}\quad\quad B= \overline{2}\cdot \overline{4}\cdot \overline{6}\cdot\ldots\cdot \overline{p-1}.$$

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et arvul $2^{3^n}+1$ on vähemalt $n$ erinevat algtegurit kujul $8k+3$. 

\end{document}