\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 14. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Ruutjäägid II.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida Jacobi s\"umboli v\"a\"artus: \hskip5pta) $\left(\frac{557}{991} \right)$,  \hskip5ptb) $\left(\frac{1279}{2023} \right)$, \hskip5pt 
c) $\left(\frac{4253}{7979} \right)$.

\bigskip

\noindent 2. Leida, milliste algarvuliste moodulite $p$ järgi on korraga arv 3 ruutjääk {\bf ja} arv -5 mitteruutjääk. 

\bigskip

\noindent 3. Olgu $a$ täisarv ja $n$ naturaalarv, kusjuures $n\equiv 7\pmod{24}$. Tõestada, et kui $\left(\frac{a}{n} \right)=1$, siis kongruents $x^2+6a(x-1)+9a^2\equiv 0\pmod n$ ei ole lahenduv. Kas kehtib ka vastupidine väide?

\bigskip

\noindent 4. Leida võrrandi $14x^2-20xy+4y^2 = 2030$ täisarvuliste lahendite arv. 

\bigskip

\noindent 5. Olgu $p>5$ algarv kujul $p=2q+1$, kus $q$ on samuti algarv. Tõestada, et $p-4$ on algjuur mooduli $p$ järgi.

\bigskip

\noindent 6. Tõestada ilma Dirichlet' teoreemi kasutamata, et leidub lõpmata palju algarve kujul $14k+1$.

\bigskip

\noindent 7. Olgu $p>7$ algarv ja $n$ vähim positiivne mitteruutjääk mooduli $p$ järgi. Tõestada, et $n\leq\frac{p-1}{4}$. 

\bigskip

\noindent 8. Tõestada, et kui $n>1$ on paaritu, $a\in \Z$, $(a,n)=1$, siis kujutus \mbox{$\lambda_a:\Z_n\rightarrow\Z_n$}, $\lambda_a(\overline{x})=\overline{ax}$, on permutatsioon, mis on paaris parajasti siis, kui $\left(\frac{a}{n}\right)=1$. 


\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $a_1,a_2\ldots,a_{2022}$ sellised mittenegatiivsed täisarvud, et $\sum\limits_{i=1}^{2022} a_i^n$ on täisruut iga $n\in\N$ korral. Leida ülimalt mitu arvu $a_i$ võivad nullist erineda ja tuua maksimaalse juhu kohta arvuline näide. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Olgu $a$ täisarv ja $p>2$ algarv. Leida kongruentsi $$x^2+y^2+z^2\equiv 2axyz\pmod{p}$$ lahendite $(x,y,z)$ arv. 

\end{document}