\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-4em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 16. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Kordamine II.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida kõik naturaalarvud kujul $n^2+n+1$, mis jaguvad arvuga 73. 

\bigskip

\noindent 2. Tõestada, et suvaliste $k,m,n\in\Z$ korral $$[k,m][k,n][m,n](k,m,n)^2 = (k,m)(k,n)(m,n)[k,m,n]^2.$$

\smallskip

\noindent 3. 2022 $m^2$ suuruse muruväljaku niitmiseks kasutati küülikuid, hamstreid ja rotte. {\bf Iga} küülik tasandas ära 96 $m^2$ suuruse ala, hamster 72 $m^2$ ja rott 66 $m^2$. Kõigi kolme liigi isendeid sai transportida täielikult täidetud ristkülikukujulisel puurikandjal, seejuures vähemalt kahte neist ruudukujulisel kandjal. Leida niidukloomade koguarv. 

\bigskip

\noindent 4. Leida kõik algarvud kujul $p=n^n+1$, millel on alla 300 000 kümnendkoha. 

\bigskip

\noindent 5. Leida ringi $\Z_{42336}$ kõigi selliste elementide $\overline{x}$ arv, mille korral $x^3\equiv x\pmod{42336}$.

\bigskip

\noindent 6. Leida diofantilise võrrandi $2013^x+2014^y = 2015^z$ kõik positiivsed lahendid.

\bigskip

\noindent 7. Leida suurima jagajate arvuga arv, mis ei ületa 100000. 

\bigskip

\noindent 8. Lahendada kongruents $$x^5-10x^4+25x^3+x^2-10x+363 \equiv 0 \pmod{21970}.$$

\smallskip

\noindent 9. Teha kindlaks, kas mooduli $n$ j\"argi leidub algjuuri ning 
kui leidub, siis leida nende arv ja \"uks algjuur, kui \\
{${}_{}$}\hskip1.5cm
 a) $n=4394$, \hskip0.5cm b) $n=4395$, \hskip0.5cm c) $n=4396$, \hskip0.5cm d) $n=4397$.

\bigskip

\noindent 10. Leida kõigi rühma $U(\Z_{61})$ elementide järgud ja kõik algjuured mooduli 61 järgi indeksite tabeli abil. Kontrollida vastust ilma astendamist kasutamata. 

\bigskip

\noindent 11. Tõestada, et iga algarv $p$ on vähim mitteruutjääk modulo mingi teine algarv $q$. 

\bigskip

\noindent 12. Kasutades loengukonspekti näites 9.8 toodud skeemi kaheksatäheliste \linebreak (st. kuueteist\-numbriliste) blokkide jaoks ja mooduli väiksust, dekodeerida avaliku võtmega $(7839044301171541,65537)$ kodeeritud RSA sõnum {\normalsize $$6118263596523166 6667893320712301 1902684127086095 3169391100067284 2682941230333079.$$}

\end{document}