\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 1. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Jaguvus. }
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Tõestada, et kui $8\mid a^2+3b^2$, siis $a$ ja $b$ on mõlemad paarisarvud. 

\bigskip

\noindent 2. Tõestada, et iga naturaalarvu $n$ korral $24\mid 3^{2n+1}-3$.

\bigskip

\noindent 3. Leida kõik täisarvud $n$, mille korral $n-2\mid n^3+1$.

\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et iga naturaalarvu $n$ korral leidub arv kujul $222\ldots000$ (st kümnendesitus koosneb vähemalt ühest numbrist kaks ja sellele järgnevast vähemalt ühest numbrist 0) nii, et $n\mid 222\ldots000$.

\bigskip

\noindent 5. Leida vähim naturaalarv $n$, mille korral $n^4+6n^3+11n^2+6n$ jagub arvuga 700.

\bigskip

\noindent 6. Piki ringjoont kirjutatakse j\"arjestikku arvud 
1 kuni 2024. Arvust 1 alustades tõmmatakse maha iga 
kaheteistkümnes arv (s.t. 1, 13, 25, 37, ...). 
Ringjoont pidi liigutakse senikaua, kuni arv 1 
saab teist korda maha tõmmatud. Seejärel korratakse protsessi iga neljakümne neljanda arvu jaoks (st tõmmatakse maha arvud 1, 45, 89, 133, ...). Mitu arvu j\"a\"ab maha tõmbamata?

\bigskip

\noindent 7. Leida kõik naturaalarvud $n$, mille korral $289\mid n^2-3n-36$.

\bigskip

\noindent 8. Leida kõigi järgmisi tingimusi rahuldavate naturaalarvude $n$ koguarv:
\begin{itemize}
\item $n$ jagub arvuga 2020,
\item arvul $n$ on ülimalt 2022 kümnendnumbrit,
\item arvu $n$ kümnendkuju on $777...000$, st üks või rohkem numbrit 7, millele järgneb null või rohkem numbrit 0.
\end{itemize}

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $m,n\in\N$. Tõestada, et $4mn-1\mid (4m^2-1)^2$ parajasti siis, kui $4mn-1\mid (4n^2-1)^2$.

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Leida kõik algarvud $p, q < 2022$ nii, et $pq+2\mid p^2+q^2+1$.

\end{document}