\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 2. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. Eukleidese algoritm. Võrrand $ax+by=c$.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida täisarvud $u$ ja $v$ nii, et $$(-7588, 7980)=u\cdot 7588+v\cdot 7980.$$

\smallskip

\noindent 2. Lihtsustada: $([(a,b),(b,c)],[(a,c),(b,c)])$. 

\bigskip

\noindent 3. Leida, mitu nulli on arvu $2221201918!$ lõpus.

\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et mistahes $m,n\in\N$ korral $\left(\frac{m^{2n+1}+1}{m+1},m+1\right) = (m+1,2n+1)$.

\bigskip

\noindent 5. Leida kõik $x,y,z\in\N$, mille korral $x^z+1 = y^{z+1}$ ja $(x,z+1)=1$.

\bigskip

\noindent 6. Mitmel eri viisil on võimalik maksta 2021 Malta ordu skuudot ja 22 tar\`{i} (1 skuudo = 12 tar\`{i}) 9- ja 30-tar\`{i}ste müntidega? 2022 skuudot ja 21 tar\`{i}?

\bigskip

\noindent 7. Džunglilaagrisse viidi eksperimendi korras teatud arv katseahve ja 42421 banaani. Pärdikud tarbisid päevas 12 banaani ja gorillad 28 banaani. Katse lõpetati 21. päeval, kui peale oma toidunormi kättesaamist nägid ahvid laos ühtainsat allesjäänud banaani, hakkasid mässama ja põgenesid. Mitu looma kaotati, kui üks talitajatest mäletab, et oli ühel päeval naljaviluks kummagi liigi isendite arvude ristsummad leidnud ja need olid samad?

\bigskip

\noindent 8. Olgu $a, b, c\in\N$ ja $(a,b)=1$. Tõestada, et 
\begin{itemize}
\item kui $c\geq (a-1)(b-1)$, siis diofantilisel võrrandil $ax+by=c$ on {\bf positiivne} lahend;
\item kui $c = (a-1)(b-1) - 1$, siis diofantilisel võrrand $ax+by=c$ ei ole positiivseid lahendeid.
\end{itemize}

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $k,l,n\in \N$. Leida $(n^k+1,n^l+1)$ algebralise avaldisena $k,l,n$ ja $(k,l)$ suhtes.

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et mistahes 16 järjestikuse naturaalarvu hulgas on vähemalt üks selline, mis on kõigi ülejäänute korrutisega ühistegurita. Näidata, et see väide enam ei kehti 17 järjestikuse naturaalarvu jaoks. 

\end{document}