\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 3. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Algarvud.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Leida k\~oik algarvud lõigus $[250, 350]$. Põhjendada {\bf otse}, et saadud \linebreak arvud on tõesti algarvud ja ükski ei ole puudu. Kas selles lõigus esineb alg\-arvukaksikuid?

\bigskip

\noindent 2. Olgu $n\in\N$ selline kordarv, et kõik selle algtegurid $p$ on suuremad kui $\sqrt[5]{n}$. Leida {\bf kõik} erinevad võimalused arvu $n$ algteguriteks lahutada (st üldkujud \'a la $p^kq$, koos piiridega astendajate $k$ jaoks) ja tuua iga juhu kohta arvuline näide. 

\bigskip

\noindent 3. Tõestada, et $p_{n}\leq 2^n$, kus $p_n$ tähistab $n$. algarvu. 

\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et {\bf iga} Mersenne'i {\bf alg}arvu $2^n-1$ astendaja $n$ on samuti algarv. 

\bigskip

\noindent 5. T\~oestada {\it ilma Dirichlet' teoreemi kasutamata}, et leidub l\~opmata palju algarve, millel on kuju $5k-1$, kus $k\in \N$. Lahendamisel võib ilma tõestuseta kasutada fakti, et suvalise $n\in\N$ korral on arvu $5n^2-1$ algtegurid $p>n$ kas kujul $5k+1$ või $5k-1$. 

\bigskip

\noindent 6. Leida {\bf kõik} algarvupaarid $p, q$ nii, et $p\mid q+7$ ja $q\mid p+6$. 

\bigskip

\noindent 7. Tõestada, et rida $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{[1,2,\ldots,i]}$ koondub irratsionaalarvuks.

\bigskip

\noindent 8. Tõestada {\bf ilma Bertrand'i postulaati kasutamata}, et kui $n>1$, siis vahemikus $(n,n^2)$ leidub vähemalt üks algarv. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. {\it Saatanlikuks} nimetatakse algarvu, mille kümnendkujus esineb numbrijärjend $666$. Näiteks 6661 on saatanlik algarv. Tõestada Dirichlet' teoreemi kasutamata, et leidub lõpmata palju saatanlikke algarve. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada, et ükski arvudest $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n+1$, $n\in\N$, ei ole algarv.

\end{document}