\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-5em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 4. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Kongruentsi mõiste ja lihtsamad omadused.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. T\~oestada, et kongruentsi m\~olemal poolel on mooduliga sama suurim \"uhistegur, s.t. kui $a\equiv b\pmod{n},$ siis $(a,n)=(b,n)$. Mis juhtub ühiskordsega?

\bigskip

\noindent 2. Leida j\"a\"ak, mis tekib arvu $(2021^{64}+2022^{9})^{17}$ jagamisel arvuga $23$. (Olla valmis arvutusi demonstreerima!)

\bigskip

\noindent 3. Tõestada, et igal aastal on vähemalt üks 13. reede.

\bigskip

\noindent 4. Arvud 202020 kuni 212223 kirjutatakse järjest üles. Kas niiviisi saadav täisarv $$202020202021\ldots212222212223$$ \vskip-1em\noindent jagub arvuga 13?

\bigskip

\noindent 5. Tõestada, et kui täisarv $a$ on korraga täiskuup ja mõne teise täisarvu neljas aste, siis $a\equiv 0,1,40,65,105,156,196,221\pmod{260}$.

\bigskip

\noindent 6. Kas võrrandil $x^3-y^3=2020$ leidub täisarvulisi lahendipaare $x,y$?

\bigskip

\noindent 7. 100 ukrainlast küttisid vene soomukeid. 1 neist eksis metsa ära ja ei leidnud ühtegi vaenlast, teised raporteerisid üle lünkliku side, et jagasid tankitõrje\-rusikad vennalikult ära, igaüks lasi sama arvu masinaid ja kokku $\bullet\hskip-2pt\hskip-1pt\bullet\hskip-1pt\hskip-1pt42\bullet\hskip-1pt\hskip-1pt\bullet\hskip-2pt$ tükki. Leidke eri propagandakanalite jaoks sobivad hävitatud soomukite koguarvud, st suurim, vähim ja keskmine (kui võimalusi on paarisarv, siis kaks keskmist).

\bigskip

\noindent 8. Tähistagu $F_i$ Fibonacci arve, st $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{i+1}=F_{i}+F_{i-1}$, $i\in\N$. Olgu $n\in\N$. Tõestada, et jada, mis koosneb jääkidest, mis on saadud jagades vastavat Fibonacci arvu arvuga $n$, st $a_k = F_k \pmod{n}$, on perioodiline (sh perioodiline alates juba esimesest liikmest). Leida vastavad vähimad perioodid $n=3,4,5$ jaoks.

\bigskip

\noindent 9${^*}$. 
Leida, milliste parameetrite $j,a,b$ korral on kongruentside süsteem \[
\left\{
\begin{array}{lcll}
F_j&\equiv  &a& \pmod{p}\\
F_{j+1}&\equiv  &b& \pmod{p}\\
\end{array}
\right.
\]
lahenduv vaid lõpliku arvu {\bf alg}arvuliste moodulite $p$ jaoks. 

\smallskip

\noindent 10${^{**}}$. Leida kaks suuruselt vähimat kordarvu $n$, mis rahuldavad järgmisi \linebreak tingimusi: $2^n\equiv 2 \pmod{n}$ ja $3^n\equiv 3 \pmod{n}$. 

\end{document}