\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 5. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Jäägiklassiringid.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Koostada ringi $\Z_{12}$ korrutustabel ilma kõiki korrutisi {\bf otse} \mbox{välja arvutamata.} 

\bigskip

\noindent 2. Leida k\~oik ringi $\Z_{42}$ p\"o\"oratavad elemendid. 

\bigskip

\noindent 3. Leida elementide $\overline{12}$, $\overline{13}$, $\overline{14}$, $\overline{15}$, $\overline{20}$, $\overline{21}$ ja $\overline{22}$ vastandelemendid ning (kui need on olemas) pöördelemendid  ringis $\Z_{308}$. 

\bigskip

\noindent 4. Leida {\bf mõlema} ringi $\Z_{30}$ ja $\Z_{6}\times\Z_{5}$ jaoks {\bf k\~oik} p\"o\"oratavad elemendid ning {\bf k\~oik} nulli\-tegurid koos vastavate nulli tegurdustega (st. nulliteguri $a$ jaoks tuleb leida $b$ nii, et $ab=0$). Kas ringid $\Z_{30}$ ja $\Z_6\times\Z_{5}$ on isomorfsed? Miks?

\bigskip

\noindent 5. Leida ringi $\Z_{8}\times\Z_{6}$ k\~oik p\"o\"oratavad elemendid. Kas ringid $\Z_{48}$ ja $\Z_{8}\times\Z_{6}$ on isomorfsed? Põhjendada vastust.

\bigskip

\noindent 6. Olgu $n$ ja $m$ naturaalarvud. Mitu {\bf erinevat} jäägiklassi $\overline{y}\in\Z_n$ on sellised, et $\overline{y}\cdot \overline{m}=\overline{0}$? Leida kõik sellised jäägiklassid ringis $\Z_{40}$ juhul $m=12$. 

\bigskip

\noindent 7. Olgu $n=p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_s}>1$ naturaalarv. Mitu {\bf erinevat} jäägiklassi $\overline{m}\in\Z_n$ on sellised, et $\overline{m}^{2022}=\overline{0}$?

\bigskip

\noindent 8. Öeldakse, et nullist erinev mittepööratav element $\overline{m}\in\Z_n$ on \emph{taandumatu}, kui võrdusest $\overline{m}=\overline{kl}$ järeldub, et kas $\overline{k}\in U(\Z_n)$ või $\overline{l}\in U(\Z_n)$. Tõestada, et jäägiklassiringi $\Z_n$ taandumatute elementide hulk on $$\{\overline{m}\in\Z_n\mid \exists p\in\mathbb{P}: p^2 | n \wedge (m,n) = p\}.$$

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Vaatleme hulka $K_n:=\{\overline{x}\in\Z_n\mid (\overline{x})^{-1}=\overline{x}^3\}$. Leida arvu $|K_n|$ kõik võimalikud väärtused. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Kui mitmel eri viisil on võimalik nulli teguriteks lahutada ringis $\Z_{3^n}$, $n\in\mathbb{N}$? Tegurdused $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{0}=\overline{b}\cdot\overline{a}$ loetakse erinevateks, kui $\overline{a}\neq\overline{b}$. 

\end{document}