\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 6. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Arvuteoreetilised funktsioonid.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Millega on v\~ordne summa  {\small \[S=\varphi (2)+\varphi (3)+\varphi (4)+\varphi (5)+\varphi (6)+\varphi (7)+\varphi (9)+\varphi (14)+\varphi (18)+\varphi(21)+\varphi(42)+\varphi (63)+\varphi(126)?\]}

\vskip-1.25em

\noindent 2. Kui palju on selliseid naturaalarve, mis ei ole suuremad kui $2120$ ja mille 
suurim \"uhistegur arvuga $2025$ ei ületa arvu $30$?

\bigskip

\noindent 3. Leida arvu $$2022^{(2020^{(2021^{(2019^{(2018^{\ldots^{5^3}})})})})}$$ neli viimast kümnendnumbrit.

\bigskip

\noindent 4. Tõestada, et kui $a,b\in\Z$, $(a,4641) = 1 = (b,4641)$, siis \mbox{$a^{48}\equiv b^{48}\pmod{4641}$}. Mis juhtub, kui eeldus $(a,4641) = 1 = (b,4641)$ ei kehti?

\bigskip

\noindent 5. Leida kõik naturaalarvud $n$, mille korral $\varphi(\varphi(n))=2$. 

\bigskip

\noindent 6. Olgu $n\in\N$. Leida $$\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\varphi(d).$$ 

\bigskip

\noindent 7. Leida kõik naturaalarvud $k$, mille korral $k\sigma(k)\equiv 2\pmod{ \varphi(k)}$. 

\bigskip

\noindent 8. Tõestada, et alati $\varphi(n)\geq\sqrt{\frac{n}{2}}$. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $n\in\N$ fikseeritud. Tõestada, et jääkide jada $$2,2^2,2^{(2^2)},2^{(2^{(2^2)})},\ldots\pmod{n}$$
on perioodiline ja leida selle perioodi pikkus. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Leida kõik naturaalarvud $n$, mille korral $\varphi(n)\mid n^2+3$.

\end{document}