\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-6em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{1em}



\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 7. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Lineaarkongruentsid. Hiina jäägiteoreem.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip

\noindent 1. Lahendada lineaarkongruentside s\"usteem 
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
5x\equiv 19 & \pmod{24}\\
7x\equiv 15 & \pmod{20}\\
11x\equiv 11 & \pmod{14}.
\end{array}
\right.
\]

\smallskip

\noindent 2. Lahendada lineaarkongruentside s\"usteem 
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
5x\equiv 19 & \pmod{24}\\
7x\equiv 17 & \pmod{20}\\
11x\equiv 15 & \pmod{14}.
\end{array}
\right.
$$

\noindent 3. Maailma parim matemaatikaõpetaja Kaiako Pangarau Polüneesiast kaalub võimalust minna tööle maailma suurimasse kooli, kus õpib tuhandeid õpilasi. Kool tahab väga, et Kaiako seal õpetaks, aga prestiižikal pedagoogil on omad nõudmised. Ta on valmis õpetama ainult siis, kui on täidetud kolm tingimust: 

1. Kõik klassid peavad olema sama suured.

2. Kui klassis on $n$ õpilast, siis poiste arv klassis peab olema $\varphi(n)$.

3. Kui klassi tüdrukute arv on $t$, siis $(t,n)=1$.

\noindent Kool peab igal aastal võtma vastu teatud arvu uusi õpilasi . Kooli direktor üritas kõik uued õpilased jaotada klassideks vastavalt Kaiako kriteeriumitele ja arvestas lisaks, et klassis peaks olema vähemalt 30 aga mitte rohkem kui 60 õpilast. Samuti tahtis direktor, et nii poisse kui tüdrukuid oleks igas klassis vähemalt kaks. Kõik võimalused läbi proovinud, tuli tal alla anda, sest alati jäi 2 õpilast üle. Leida vähim võimalik kooli vastu võetud uute õpilaste arv. \hfill (Ekke-Markus Muttika, Kaarel August Kurik, 2021)

\bigskip

\large

\noindent 4. Leida $2022^{\left(2020^{2018}\right)} \pmod{5005}$.

\bigskip

\noindent 5. Tõestada, et iga naturaalarvu $n$ jaoks leiduvad $n$ järjestikust naturaalarvu $a_1,\ldots,a_n$, millest ükski {\bf ei ole} mingi algarvu aste, st $a_i \neq p^{k}$, $p\in\P$, $k\in\N$. Tuua näide viiest sellisest arvust. 

\bigskip

\noindent 6. Olgu $a,b,c\geq 3$ kolm {\bf erinevat} naturaalarvu ja kehtigu $a\mid bc+b+c$, $b\mid ac+a+c$ ning $c\mid ab+a+b$. Tõestada, et vähemalt üks arvudest $a,b,c$ ei ole algarv. 

\bigskip

\noindent 7. Koostada tekst\"ulesanne, mida saab lahendada Hiina \mbox{j\"a\"agiteoreemi} abil. \\(\"Ulesande tekst ja 
selle {\bf lahendus} tuleb esitada kirjalikult. Põhimõtteliselt vale lahendusega ülesanne annab 0 punkti. K\~oige originaalsema üles\-ande
ja kõige raskema \"ulesande koostajad saavad kumbki 3-5 punkti sõltuvalt ülesande tasemest. Kloonitud \"ulesannete 
esitajad saavad 0 punkti.)

\bigskip

\noindent 8${^{*}}$. Nimetame täisarvuliste koordinaatidega eukleidilise ruumi punkti $(a,b,c)$, $a,b,c\in\Z$, \emph{ristpunktiks}, kui $(a,b,c)=1$. Kas leidub kuup külje\-pikkusega 2022, mis koosneb {\bf ainult} ristpunktidest? 

\bigskip

\noindent 9${^{**}}$. Olgu $a$, $b$ ja $c$ kolm erinevat täisarvu. Tõestada, et leidub lõpmata palju selliseid naturaalarve $n$, mille korral $$(a+n,b+n)=(b+n,c+n)=(a+n,c+n)=1.$$ 

\end{document}