\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}


\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 8. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Tundmatut sisaldavad kongruentsid.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip


\bigskip

\noindent 1. Lahendada kongruents 
\[
x^4 + 3x^3 + x - 4\equiv 0\pmod{7}.
\]

\smallskip

\noindent 2. Tegurdada pol\"unoom  
\[
f(x)=2x^5+4x^4+3x^3+x+1
\] 
mooduli 5 j\"argi, s.t. \"ule korpuse $\Z_{5}$.

\bigskip

\noindent 3. Milliste $x$ täisarvuliste väärtuste korral on arvu $2x^4+4x^3+2x^2+x+2$ mõlemad viimased kümnendnumbrid 6?

\bigskip

\noindent 4. Lahendada kongruents 
\[
2x^4 - x^3 +22 x -14\equiv 0\pmod{81}.
\]

\smallskip

\noindent 5. Lahendada kongruents 
\[
2x^4 - x^3 -5 x +13\equiv 0\pmod{3591}.
\]

\bigskip

\noindent 6. Lahendada m\~oistatus $\mathrm{P\ddot{A}RI\times P\ddot{A}RI=TULEB\ddot{A}RI}$. (Iga täht t\"ahistab \"uhte {\bf erinevat} konkreetset numbrit.)

\bigskip

\noindent 7. Konstrueerida selline neljanda astme polünoom $f(x)$, et kongruentsil \linebreak $f(x)\equiv 0 \pmod{5^k}$ oleks täpselt üks lahend {\bf iga} $k\in\N$ korral. 
	
\bigskip

\noindent 8. Olgu $p>2$ algarv. Lahendada kongruents 
\[
(p-1)x^{p-3}+(p-2)x^{p-4}+\ldots+4x^{2}+3x + 2 + 1 \equiv 0\pmod{p}.
\]

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Olgu $k\in\N$. Lahendada kongruents $2^x+1\equiv 0\pmod{x^k}$. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Olgu $a\in\Z$, $n,k\in\N$ ning $(a,n)=1$. Lahendada kongruents $ax\equiv 1\pmod{n^k}.$ 

\end{document}