\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[official]{eurosym}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-6em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Kevad 2022} \smallskip %
\vspace{2em}

\begin{center}
{\LARGE Arvuteooria 9. praktikumi ülesanded:\\ 
\vspace{1em}
{\LARGE Kordamine.}
}

\end{center}

\bigskip\bigskip

\bigskip

\noindent 1. Olgu $p$ algarv ja $m,n\in\N$. Tõestada, et kui $p\mid m^p-n^p$, siis ka $p^2\mid m^p-n^p$.

\bigskip

\noindent 2. Olgu $n,k\in\N$. Leida $(n^k+1,n+1)$.

\bigskip

\noindent 3. Ukrainlased maksid ühel saagikal päeval trofeemasinate eest \$864 000: tanki eest \$104 000, jalaväe lahingumasina eest \$56 000 ja raketiheitja eest \$24 000 tükist. Mida öelda dessantväelasele, kes mahalaskmise ähvardusel nõuab kõige tõenäolisemat reedetud raketiheitjate arvu?

\bigskip

\noindent 4. Leida kõik (mitte tingimata erinevate) algarvude komplektid $p_1,\ldots,p_k$, mille korral $\prod\limits_{i=1}^k p_i=10\sum\limits_{i=1}^k p_i$.

\bigskip

\noindent 5. Olgu $p$ algarv. Leida jääk, mis tekib arvu $\underbrace{1\ldots 1}_{p\,\text{numbrit}}\underbrace{2\ldots 2}_{p\,\text{numbrit}}\ldots\underbrace{9\ldots 9}_{p\,\text{numbrit}}$ jagamisel arvuga $p$.

\bigskip

\noindent 6. Numbrid 1,2,3,4,5,6,7,8,9 kirjutatakse juhuslikus järjekorras üles. Leida tõenäosus, et niiviisi saadud arv jagub arvuga 11.

\bigskip

\noindent 7. \mbox{Teha kindlaks, millis(t)el järgmistest diofantilistest võrranditest on lahendeid:} $$x^2+y^2+z^2 = 2021;\quad x^2+y^2+z^2 = 2022;\quad x^2+y^2+z^2 = 2023.$$

\bigskip

\noindent 8. Leida, mitu nullitegurit on ringides $\Z_{2040}$ ja $\Z_{34}\times \Z_{60}$. Kas ringid $\Z_{2040}$ ja $\Z_{34}\times \Z_{60}$ on isomorfsed? Miks?

\bigskip

\noindent 9. Leida vähim naturaalarv $n$, mille korral kehtib väide $$\forall m\in\N\, \left(m\geq n\Rightarrow \varphi(m) \geq 7\right).$$

\bigskip

\noindent 10. Leida kõik naturaalarvud $n$, mille korral $\sigma(n)=42$. 

\bigskip

\noindent 11. Lahendada kongruentside s\"usteem 
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
3x^3\equiv 4 & \pmod{7}\\
x^4\equiv 1 & \pmod{8}.
\end{array}
\right.
\]

\bigskip

\noindent 12. Lahendada kongruents $$x^4-3x^3-7x^2+15x-31\equiv 0 \pmod{12691}.$$ 

\end{document}