\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[estonian]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amscd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage{rotating}

\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

\topmargin-3em
\oddsidemargin0cm
\textwidth16cm
\textheight27cm
\evensidemargin-2cm

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\Large

{\hfill{Sügis 2021} \smallskip %
\vspace{2em}

\begin{center}
{\LARGE Sissejuhatus algebra struktuuridesse\\} 

{\LARGE 1. praktikumi \"ulesanded\\}
\vspace{1em}
{\LARGE }
\end{center}
}

\bigskip\bigskip

\bigskip

\noindent 1. Tõestada, et kõigi reaalarvuliste jadade vektorruumi (üle $\R$) mõõde ei ole lõplik ega isegi mitte loenduv. 

\bigskip

\noindent 2. Tõestada, et iga nullist erinev VR (sh lõpmatumõõtmeline) on isomorfne mingi funktsioonide VR-ga kujul $B^A = \{f:A\rightarrow B\}$. 
\\\hfill\vskip-30pt\begin{turn}{180}{\tiny{\it N\"apun\"aide.} Hulgaks $A$ võib võtta VR-i baasi.}\hfill\end{turn}

\bigskip

\noindent 3. Olgu $a,b\in\R$, $V=C([a,b],\R)$ pidevate funktsioonide VR (punktiviisi tehetega) ja $W=\{f\in V\mid f(x)=\mathrm{const}\}$. Leida $V/W$, st mingi tuntud VR, millega see on isomorfne.

\bigskip

\noindent 4. Leida kõik homomorfismid rühmast $(\Z_8,+)$ rühma $(\Z_{13}^*,\cdot)$.

\bigskip

\noindent 5. Tõestada, et kui $G$ on Abeli rühm, siis $\mathrm{End}(G)$ on ring. Tuua näide mittekommutatiivsest rühmast, mille korral sama konstruktsioon ei tööta, st tulemuseks ei ole ring. 

\bigskip

\noindent 6. Leida faktorrühmad $\Z^2/\{(a,a)\mid a\in\Z\}$ ja $\Z^3/\{(a,a,a)\mid a\in\Z\}$. 

\bigskip

\noindent 7. Olgu $V$ vektorruum, $W$ selle alamruum, $a_1,\ldots,a_m$ ruumi $W$ baas ja $a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_n$ ruumi $V$ baas. Tõestada, et $b_1+W,\ldots,b_n+W$ on faktorruumi $V/W$ baas. 

\bigskip

\noindent{\fontsize{12}{14}\selectfont $A$ on \emph{algebra} üle korpuse $K$, kui $(A,+,\cdot)$ on VR üle $K$, $(A,*,+)$ on ring ja kehtib samasus $(kl)\cdot(a*b)=(k\cdot a)*(l\cdot b)$.}

\bigskip

\noindent 8. Tuua näide vähemalt kolmest mitteisomorfsest kommutatiivsest algebrast üle $\R$, mille kui VR mõõde on 2. 

\bigskip

\noindent 9${^*}$. Tõestada, et eelmises ülesandes toodud näited ongi isomorfismi täpsuseni kõik võimalikud kommutatiivsed kahemõõtmelised algebrad üle $R$. 

\bigskip

\noindent 10${^{**}}$. Tõestada või lükata ümber: iga vektorruumi $V$ üle $K$ (nii lõpliku- kui lõpmatumõõtmelise) mistahes endomorfism $f:V\to V$ on avaldatav kujul $\sum\limits_{i=1}^{n_f} k_{f,i}f_{f,i},$ kus $k_{f,i}\in K$ ja $f_{f,i}$ on mingid $V$ endomorfismid, mis rahuldavad tingimust $f_{f,i}\circ f_{f,i} = f_{f,i}$.

\end{document}