Täieliku võre tolerantsid ja kvantaalid

Tegemist on ühise uurimistööga Miskolci matemaatiku Sandor Radeleczkiga.

Kvantaal on täielik võre L koos assotsiatiivse korrutamistehtega *, mis on kooskõlas ülemise raja võtmise operatsiooniga järgmises mõttes: kui x on L element ja Y on L alamhulk (võibolla ka lõpmatu), siis x*sup(Y)=sup(x*Y) ja sup(Y)*x=sup(Y*x).

Kvantaali nimetatakse integraalseks, kui tema suurim element on ühtlasi multiplikatiivseks ühikelemendiks.

Kvantaali tüüpilise näite saame, kui võtame L ossa mingi ringi R kõigi ideaalide võre ja korrutamise rolli tavalise ideaalide korrutamise.

Võre L tolerantsiks nimetatakse võre LxL alamvõret, mis on refleksiivne ja sümmeetriline kui binaarne seos.

Osutub, et kui L on täielik võre, siis tema kõigi tolerantside hulgal Tol(L) on loomulik integraalse kvantaali struktuur. Seejuures ülemise raja rollis on tolerantside ühisosa ja korrutamise rollis teatud modifitseeritud binaarsete seoste korrutamine.

Suhteliselt lihtne on näidata, et iga integraalne kvantaal on sisestatav mingi täieliku võre kõigi tolerantside kvantaali. Tegemist on Cayley tüüpi teoreemiga.

Uurimistöö käigus selgus, et ühel või teisel viisil on võre tolerantside kvantaal erinevate autorite töödes ka varem esinenud, enamasti mõistet kvantaal mainimata. Püüdsime oma töös välja tuua seosed nende erinevas terminoloogias esitatud tulemuste vahel.