INFINITESIMAALSED MEETODID ALGEBRALISTE INVARIANTIDE TEOORIAS

Meenutame vanu aegu (Pythagoras, G.Cardano, F.Viete, E.W.Tschinhausen, A.Moivre, J.L.Lagrange), invariantide teooria kuldajastut (E.Galois, J.J.Sylvester, A.Cayley, P.A.Gordan, G.Veronese, D.Hilbert) ning kőneleme kaasaegsest diferentseerimistehnikast (S.Lie, E.Cartan).

Dzettide kihtkonnas valitsev eksponentsiaalseadus annab eeskirja diferentsiaal- ja algebraliste invariantide leidmiseks ning diferentsiaaloperaatorite sümmeetriate uurimiseks.

Näide 1. Kuupvőrrandi puhul sisestame Galois' rühma pőhioperaatori sümmeetriate rühma ning lahendame vőrrandi geomeetriliste arutluste käigus. Diskriminandi ja kahe invariandi vaheline seos seondub Pythagorase teoreemi ja Moivre'i valemiga ning Cardano valem Lagrange'i interpolatsioonivalemiga. Binaarse kuupvormi Cayley' süsiig tekib invariantide algfunktsioonide tasemel.

Näide 2. Lineaarne vektorväli on lineaarse rühma operaator. Rühma tensoresitusi kirjeldame tuletiste ning voogude abil, lähtudes maatriksite omaväärtustest. Veronese kujutus sisestab operaatori polünoomide ruumi ning Hilberti operaatorid osutuvad operaatori jätkamise käigus saadud Lie väljadeks.

INFINITESIMAL METHODS IN THE THEORY OF ALGEBRAIC INVARIANTS

We recall the old times (Pythagoras, G.Cardano, F.Viete, E.W.Tschinhausen, A.Moivre, J.L.Lagrange), the golden age of the theory of invariants (E.Galois, J.J.Sylvester, A.Cayley, P.A.Gordan, G.Veronese, D.Hilbert) and we talk about modern differentiation technique (S.Lie, E.Cartan).

Exponential law, which holds in the fiber bundle of dzetts(?), gives a rule for finding differential and algebraic invariants and for studying symmetries of differential operators.

Example 1. In the case of cubic equation we embed the symmetry group of fundamental operator into Galois group and solve the equation using geometric arguments. A relation between discriminant and two invariants is related to Pythagorean theorem and Moivre formula and Cardano formula is related to Lagrange interpolation formula. The Cayley zyzygy of a binary cubic form arises at the level of antiderivatives of invariants.

Example 2. Linear vector field is an operator of a linear group. We describe tensor representations of a group using derivatives and flow, via matrix eigenvalues. Veronese mapping embeds operator into polynomial space and Hilbert operators turn out to be Lie fields obtained by continuation of operator.