Topoloogilise muutkonna mõiste. Lokaalne koordinaadisüsteem. Atlas. Pideva funktsiooni mõiste.
Sile struktuur topoloogilisel muutkonnal. Sile atlas. Sile funktsioon.
Siledate funktsioonide algebra aritmeetilisel n-mõõtmelisel ruumil. Puutujavektori mõiste. Puutujavektor, kui funktsiooni suunatuletis, omadused.
Sileda funktsiooni kasv. Kasvude algebra. Kasvude väärtusega 0 ideaal. Algebra derivatsiooni mõiste. Muutkonna puutujavektor.
Teoreem muutkonna puutujaruumi dimensioonist.
Puutujavektori kuju muutkonna lokaalsetes koordinaatides. Puutujaruumi lokaalne baas. Teisenemisevalem üleminekul ühelt koordinaadisüsteemilt teisele.
Kujutuse diferentsiaali definitsioon. Muutkonna puutujaruumi kaasruum. Funktsiooni diferentsiaal, kui kaasruumi element. Kujutuse diferentsiaal lokaalsetes koordinaatides.
Puutujavektorkond ja selle muutkonna struktuur. Kaaspuutujavektorkond ja selle struktuur.
Vektorväli muutkonnal, kui puutujavektorkonna lõige. Teoreem vektorvälja struktuurist lokaalsetes koordinaatides.
Lie algebra definitsioon. Vektorväljade kommutaator. Vektorväljade Lie algebra.
Vektorvälja integraaljoone definitsioon. Teoreem vektorvälja integraaljoone olemasolust. Vektorvälja poolt tekitatud difeomorfismide üheparameetriline rühm.
Vektorruumide tensorkorrutis. (r,s)-tensori mõiste. Vektorruumi tensoralgebra.
Tensorid eukleidilises ruumis, meetriline tensor, indeksite tõstmine ja langetamine.
Kalsümmeetrilised tensorid. Tensori alterneerimine. Kaldsümmeetriliste tensorite väliskorrutamine ja selle omadused. Välisalgebra ja selle struktuur.
Sileda muutkonna välisalgebrate vektorkond ja selle struktuur. Diferentsiaalvormi mõiste. Diferentsiaalvormi kuju muutkonna lokaalsetes koordinaatides.
Diferentsiaalvormi pullback ja selle omadused.
Riemanni muutkonna mõiste, riemanni meetrika. Hodge'i operaator ( star operator ) ja selle omadused.
Diferentsiaalvormid ja Maxwelli teooria.
Lie maatriksrühma mõiste. Näited. Maatriksrühm SU(2) . Eksponentkujutus ja selle omadused. Lie maatriksrühmaga assotsieeritud Lie algebra. Maatriksrühmaga SU(2) assotsieeritud Lie algebra su(2).
Rühma esituse mõiste. Taandumatu esituse definitsioon. Lie algebra esitus. Adjungeeritud esitus. Pöörete rühm SO(3) ja selle esitus unitaarsete maatriksitega SO(3) -> SU(2).
Vektori paralleellüke mööda joont n-mõõtmelise eukleidilise ruumi ristkoordinaatides. Kõverjoonelised koordinaadid n-mõõtmelises eukleidilises ruumis. Kõverjooneliste koordinaatide poolt tekitatud baasvektorväljad ja nende seos ristkoordinaatide vektorväljadega. Paralleellüke kõverjoonelistes koordinaatides. Seostuse maatriks. Christoffel'i sümbolid. Vektori paralleellükke piki joont võrrand.
Seostus n-mõõtmelises eukleidilises ruumis. Teoreem eukleidilise seostuse omadustest.
Seostuse siledal muutkonnal definitsioonid. Kovariantne tuletis. Seostuse vääne. Sümmeetrilise seostuse mõiste. Riemanni seostuse definitsioon. Levi-Civita seostus.
Kovariantse tuletise laiendamine kõrgemat järku tensoritele. Paralleeltensori mõiste. Näidata, et riemanni meetrika on (0,2)-paralleeltensor riemanni seostuse korral.
Riemanni kõveruse definitsioon. Näidata, et riemanni kõverus on (1,3)-tensor. Tuletada valem, mis näitab, kuidas riemanni kõveruse (1,3)-tensor avaldub Christoffel'i sümbolite kaudu. Riemanni kõverus, kui (0,4)-tensor, ja selle avaldis Christoffel'i sümbolite kaudu. Bianchi esimene ja teine samasus (tõestusega).