Processing math: 100%

Spektraalanalüüs difraktsioonvõrega

Langegu monokromaatne tasalaine (lainepikkusega $\lambda$) risti difraktsioonvõrele. Difrageerunud kiirguse intensiivsuse suunasõltuvus avaldub kujul $$I(\varphi)\propto \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2\left(\frac{\sin Nv}{\sin v}\right)^2\tag{1},$$ kus $$u=\frac{\pi b}{\lambda}\sin\varphi,\qquad v=\frac{\pi d}{\lambda}\sin\varphi.$$ Siin $N$ on nende pilude arv, mis on hõlmatud võrele langeva valgusvihu laiusega. Valemis (1) esimene tegur annab üksiku pilu difraktsioonpildi. See vaid moduleerib difraktsioonimaksimumide intensiivsuseid, mis meid järgnevas ei huvita.

Difraktsiooni peamaksimumid asuvad kohal, kus kahest naaberpilust lähtuvate kiirte käiguvahe $d\sin\varphi$ on lainepikkuse täisarvkordne: $$d\sin\varphi=m\lambda.\tag{2}$$ Ekvivalentselt, $v=m\pi$. Peamaksimumide vahel paikneb $N-1$ miinimumi, mille puhul $Nv=k\pi$ ($k$ — täisarv) aga $v\neq m\pi$. Mida suurem on pilude arv $N$, seda suhteliselt väiksem on kõrvalmaksimumide intensiivsus, ehk praktiliselt kogu kiirgus on koondunud peamaksimumidesse. Viimaste suund omakorda sõltub valguse lainepikkusest (nagu on ilmne seosest 2), ja seetõttu saabki difraktsioonvõre kasutada valguse dispergeerimiseks, ehk spektraalanalüüsi teostamiseks.

Difraktsioonvõre nurkdispersiooniks $D_\varphi$ nimetatakse peamaksimumi suuna muutumise kiirust lainepikkuse muutudes. Selle leidmiseks diferentseerime võrrandit (2) lainepikkuse järgi: $$d\cos\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial\lambda}=m,$$ millest $$D_\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\lambda}=\frac{m}{d\cos\varphi}.$$ Seega dispersioon on seda suurem mida kõrgem on difraktsioonijärk ja mida tihedamalt (väiksema sammuga) pilud paiknevad.

Defineerime difraktsioonvõre lahutusvõime järgmiselt. Lainepikkused $\lambda$ ja $\lambda+\delta\lambda$ ($\delta\lambda\ll \lambda$) loeme eristatavaiks parajasti veel siis, kui lainepikkusele $\lambda$ vastav peamaksimum langeb kokku lainepikkusele $\lambda+\delta\lambda$ vastava esimese miinimumiga (nn Rayleigh' kriteerium). Seega esmalt peame leidma peamaksimumi nurklaiuse $\delta\varphi$. Kui $m$-nda peamaksimumi asukoht rahuldab tingimust $v=m\pi$ ehk $Nv=k\pi$ ($k=Nm$), siis selle kõrval asuva esimese miinimumi asukoht on määratud tingimusega $N(v+\delta v)=(k+1)\pi$. Siit $\delta v=\pi/N$. Teiselt poolt, diferentseerides $v$ definitsioonvalemit, saame $$\delta v=\frac{\pi d}{\lambda}\cos\varphi\,\delta \varphi.$$ Seega peamaksimumi nurklaius $$\delta\varphi=\frac{\lambda}{Nd\cos\varphi}.\tag{3}$$ Nüüd võib leida sellise ekvivalentse lainepikkuse muutuse $\delta \lambda$, mis põhjustaks samasuguse suunamuutuse $\delta\varphi$: $$\delta\varphi=D_\varphi\,\delta\lambda=\frac{m}{d\cos\varphi}\,\delta\lambda.$$ Võrdsustades kaks viimast avaldist, saame $$\delta\lambda=\frac{\lambda}{mN}.$$ Niisiis hea spektraalse lahutuse saamiseks on tarvilik, et $N$ oleks suur, st võre oleks maksimaalselt valgusega täidetud, sest sel juhul peamaksimumid on väga teravalt suunatud (nagu ilmneb ka valemist 3).