Tuletame tasakaalulise kiirguse spektraalse energiatiheduse $\rho_\nu(\nu)$. Selleks on meil ühelt poolt tarvis elektromagnetvälja moodide spektraaltihedust ja teiselt poolt välja keskmist energiat ühes moodis. Esimene on klassikaline probleem, teine vajab kvantoptikat.

Kujutleme seisevlained, mis võiks moodustuda kuubikujulises õõnsuses küljepikkusega $L$. Kui lihtsuse huvides lugeda, et õõnsuse seinad on heast elektrijuhist, siis õõnsuse pindadel on elektrivälja tangentsiaalkomponent null, seega igas sihis peab pikkuse $L$ sisse mahtuma täisarv pool-laine pikkuseid. Ei ole raske läbi näha, et kõikvõimalike seisevlainete väljakomponendid avalduvad kujul \begin{align} E_x(\vec r,t) &= E_{x0}\cos(\omega t)\cos(k_xx)\sin(k_yy)\sin(k_zz),\\ E_y(\vec r,t) &= E_{y0}\cos(\omega t)\sin(k_xx)\cos(k_yy)\sin(k_zz),\\ E_z(\vec r,t) &= E_{z0}\cos(\omega t)\sin(k_xx)\sin(k_yy)\cos(k_zz), \end{align} kus lainevektori komponendid võivad omandada vaid diskreetseid väärtuseid $$k_x=n_x\pi/L,\quad k_y=n_y \pi/L,\quad k_z=n_z \pi/L,\quad n_x,n_y,n_z=1, 2, 3,\ldots.$$ Tõepoolest, sel juhul $E_x(z=0,t)=0$, $E_y(z=0,t)=0$, $E_x(z=L,t)=0$, jne. Iga optilist moodi identifitseerib lainevektor $\vec k$ ehk selle kolm komponenti. Kui neid seisundeid kujutada punktidena $\vec k$-ruumis, siis need moodustavad lihtsa kuubilise võre, kus võresamm on $\pi/L$, seega ühe punkti kohta tuleb ruumala $\pi^3/L^3$. Seisundeid lainearvude vahemikus $k\ldots k+dk$ võib vaadelda asuvaina sfäärilises kihis raadiusega $k$ ja paksusega $dk$. Selle kihi ruumala on $4\pi k^2\,dk$. Lisaks arvestame, et vektori $\vec k$ kõik komponendid on positiivsed (tegur $1/8$) ja et tegemist on ristlainetega, nii et igale $\vec k$ väärtusele vastab tegelikult kaks sõltumatut ostsillaatorit (st kaks polarisatsioonikomponenti). Seega seisundite arv spektraalvahemikus $k\ldots k+dk$ tuleb võrdseks $$2\times\frac{1}{8}\times \frac{4\pi k^2\,dk}{\pi^3/L^3}=\frac{L^3k^2}{\pi^2}\,dk.$$ Kui see avaldis jagada õõnsuse ruumalaga $L^3$ ja teisendada sagedusskaalasse, saame sagedusvahemikus $\nu\ldots \nu+d\nu$ moodide ruumtiheduseks $(8\pi \nu^2/c^3)d\nu$.

Klassikalise ostsillaatori keskmine energia temperatuuril $T$ oleks $kT$. See annaks kiirguse energiatiheduse jaoks $\rho_\nu(\nu)=8\pi \nu^2 kT/c^3$. See on Rayleigh-Jeansi seadus, mis on enam-vähem õige vaid suurtel lainepikkustel, lühematel lainepikkusel aga läheneb energiatihedus lõpmatusele ("ultravioleti katastroof").

Kvantteooria vaatleb välja iga moodi kvantostsillaatorina, mille energia võib omandada vaid diskreetseid väärtuseid $E_n=nh\nu$, kus $h$ on Plancki konstant ja $n=0,1,2,\ldots$. Termilise tasakaalu puhul tõenäosus $P_n$, et süsteemi energia on $E_n$, on antud Boltzmanni jaotusega: $P_n\propto e^{-E_n/kT}$. Arvestades, et $\sum_n P_n=1$, saame normeeritud kujul $$P_n=\frac{e^{-E_n/kT}}{\sum_n e^{-E_n/kT}}.$$ Ostsillaatori keskmine energia on siis $$\langle E_\nu\rangle=\sum_n P_n E_n=h\nu\frac{\sum_n ne^{-nh\nu/kT}}{\sum_n e^{-nh\nu/kT}}.$$ Nimetajas olev summa on geomeetriline rida: $$\sum_n e^{-n x}=\sum_n (e^{-x})^n=\frac{1}{1-e^{-x}},$$ kus $x=h\nu/kT$. Lugejas oleva rea summa saame leida tuletise abiga: $$\sum_n n e^{-n x}=\sum_n \left(-\frac{d}{dx}e^{-n x}\right)=-\frac{d}{dx}\sum_n e^{-n x}=-\frac{1}{dx}\frac{1}{1-e^{-x}}=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}.$$ Kokkuvõttes $$\langle E_\nu\rangle=\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}.$$ Korrutades selle moodide tihedusega, saamegi Plancki seaduse: $$\rho_\nu(\nu)=\frac{8\pi \nu^2}{c^3} \langle E_\nu\rangle=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}.$$

Piirjuhul, kus temperatuur on väga kõrge ja/või sagedus väga väike (st kvantide arv optilises moodis on väga suur), on $h\nu/kT\ll 1$. Aga sel juhul võime $e^x$ arendada ritta, piirdudes kuni esimest järku liikmega ($e^x\approx 1+x$), nii et $\langle E_\nu\rangle\approx kT$, mis ongi klassikaline tulemus.