Vaatleme kahe sama sagedusega ristlaine superpositsiooni, kus mõlemad komponendid levivad $z$-telje sihis (selle positiivses suunas) ja nende elektrivektorite võnketasandid on üksteisega risti. Resultatiivse võnkumise elektrivektori koordinaadid (kindlas ruumipunktis, nt $z=0$) võime siis kirjeldada kujul $$E_x(t)=E_{0x}\cos(\omega t),\qquad E_y(t) = E_{0y}\cos(\omega t - \phi)$$ Üldjuhul $E_x(t)$ ja $E_y(t)$ vahel on mõnesugune faasinihe. Täpsemalt, $E_y(t)$ jääb faasis maha teatud nurga $\phi$ võrra.

Vaatleme esialgu lihtsamaid erijuhte. Kui $\phi=n\pi$, kus $n$ on suvaline täisarv, siis $E_y(t) = \pm E_{0y}\cos \omega t$ ja seega $$E_y=\pm \frac{E_{0y}}{E_{0x}}E_x,$$ mis on sirge võrrand. Teiste sõnadega, resultatiivse elektrivektori otspunkt võngub piki sirget. Selle sirge kaldenurga tangens on ilmselt $\pm E_{0y}/E_{0x}$. Sellist lainet nimetatakse lineaarselt polariseerituks.

Teine oluline erijuht on selline, kus komponendid on võrdse amplituudiga ja faaside erinevus on absoluutväärtuselt $\pi/2$, st $E_{0x}=E_{0y}=E_0$ ja $\phi=\pm\pi/2+2n\pi$. Siis $$E_x(t)=E_0\cos\omega t,\qquad E_y(t) = \pm E_0\sin\omega t.$$ Need on ringjoone parameetrilised võrrandid. Arvestades, et $\sin^2\omega t+\cos^2\omega t=1$, võime ringjoone kirjeldada ka üheainsa võrrandiga: $$E_x^2 + E_y^2=E_0^2.$$

Oletagem konkreetselt, et $\phi=\pi/2$, nii et $E_y(t)$ avaldises on $E_0$ ees pluss-märk. Siis ajahetkel $t=0$ on elektrivektor orienteeritud piki $x$-telge ja osutab viimase positiivses suunas. Kui nüüd $t$ hakkab aeglaselt kasvama, siis $E_y$ hakkab samuti kasvama ($E_x$ on ligikaudu konstant). Seega resultatiivne elektrivektor hakkab pöörlema vastupäeva. Laine seisukohalt (mis levib $z$-telje suunas) on tegemist paremakäelise ringpolarisatsiooniga. Analoogiliselt $\phi=-\pi/2$ korral saame vasakukäelise ringpolarisatsiooni.

Kui $E_{0x}\neq E_{0y}$, saame ellipsi võrrandi: $$\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2 + \left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2=1$$ Sellist lainet nimetatakse elliptiliselt polariseerituks. See on siiski vaid elliptilise polarisatsiooni erijuht, kus ellipsi teljed ühtivad koordinaattelgedega.

Vaatleme nüüd üldjuhtu, kus $E_{0x}$, $E_{0y}$ ja $\phi$ on meelevaldsed. Kasutades tuntud trigonomeetrilist seost, kirjutame lahti $E_y(t)$: $$E_y(t)=E_{0y}\left(\cos \omega t\cos\phi+\sin \omega t\sin\phi\right) $$ ehk $$\left(\frac{E_y}{E_{0y}}-\cos \omega t\cos\phi\right)^2=\sin^2\omega t\sin^2\phi$$ Asendame siia $\cos\omega t=E_x/E_{0x}$ ja $\sin^2\omega t=1 - (E_x/E_{0x})^2$. Peale mõningaid teisendusi jõuame võrrandini $$\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2+\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2- 2\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)\left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)\cos\phi=\sin^2\phi\tag{1}$$ Näitame, et tegemist on ellipsiga, mis on pööratud teatud nurga $\alpha$ võrra koordinaattelgede suhtes.

Niisiis oletagem, et pööratud teljestikus $x'y'$ (vt joonis) on antud ellips võrrandiga $$\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1$$ ehk $$b^2x'^2+a^2y'^2=a^2b^2,\tag{2}$$ kus $a$ ja $b$ on ellipsi pooltelgede pikkused. Kui algses teljestikus on punkt koordinaatidega $(x, y)$, siis pööratud teljestikus on selle punkti koordinaadid: $$\begin{align} x' &= x\cos\alpha+y\sin\alpha\\ y' &= -x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{align}$$ Asendame need ellipsi võrrandisse (2). Peale mõningaid teisendusi jõuame võrrandini $$(a^2\sin^2\alpha+b^2\cos^2\alpha)x^2 + (a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha)y^2 - \left[2(a^2-b^2)\sin\alpha\cos\alpha\right]xy=a^2b^2.$$ Seega ellipsi võrrand on üldkujul selline: $$Ax^2+Bxy+Cy^2=F,$$ kus $A > 0$, $C > 0$ ja $F > 0$. On kerge veenduda, et lisaks kehtib tingimus $AC-\frac{1}{4}B^2 > 0$. Avaldis (1) on tõepoolest sellisel kujul ja rahuldab mainitud tingimusi. Ellipsi pöördenurga $\alpha$ saame avaldada kordajate $A$, $B$ ja $C$ kaudu: $$\tan 2\alpha=\frac{B}{A-C}.$$ Tõepoolest, $$\frac{B}{A-C}=-\frac{2(a^2-b^2)\sin\alpha\cos\alpha}{(a^2-b^2)\sin^2-(a^2-b^2)\cos^2\alpha} =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\tan 2\alpha$$ Niisiis avaldis (1) kirjeldab ellipsit, mille pöördenurk $$\tan 2\alpha=\frac{2E_{0x}E_{0y}\cos\phi}{E_{0x}^2-E_{0y}^2}.$$