$\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} = \mathbb{Z}_{6}$

Tsükliline rühm $\mathbb{Z}_{6}$ on $\mathbb{Z}_{2}$ ja $\mathbb{Z}_{3}$ otsekorrutis. Kuidas on seotud nende esitused?

$\mathbb{Z}_{2}$ ja $\mathbb{Z}_{3}$ esitused on $\mathbb{Z}_{6}$ esitustega seotud kui
\begin{equation}
\begin{split}
(0,0) &\to 0, \\
(1,1) &\to 1, \\
(0,2) &\to 2, \\
(1,0) &\to 3, \\
(0,1) &\to 4, \\
(1,2) &\to 5,
\end{split}
\end{equation}
ehk üldiselt
\begin{equation}
(x,y) \to (a x+ b y) \mod 6,
\end{equation}
kus $a = 3$ ja $b = 4$.
Nagu seletatud raamatus „Concrete Mathematics“ (Graham, Knuth ja Patashnik), leitakse kordajad $a$ ja $b$ tähelepanekust, et kui $(1, 0) \to a$ ja $(0,1) \to b$, siis $(x,y) \to (a x + b y) \mod 6$. Nõnda saab $a$ ja $b$ leida võrranditest
\begin{equation}
a = 1 \mod 2, \quad a = 0 \mod 3, \quad b = 0 \mod 2, \quad b = 1 \mod 3.
\end{equation}

Võime seost $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} = \mathbb{Z}_{6}$ visualiseerida kui
× =

Pange tähele, et $4 = -2 \mod 6$ and $5 = -1 \mod 6$ on kooskõlas sellega, et esitus $4$ on $\mathbb{Z}_{6}$ esituse $2$ kaaskompleks ja $5$ on $1$ kaaskompleks.