Processing math: 29%
Kristjan Kannike

Z2×Z3=Z6

Tsükliline rühm Z6 on Z2 ja Z3 otsekorrutis. Kuidas on seotud nende esitused?

Z2 ja Z3 esitused on Z6 esitustega seotud kui
(0,0)0,(1,1)1,(0,2)2,(1,0)3,(0,1)4,(1,2)5,
ehk üldiselt
\begin{equation} (x,y) \to (a x+ b y) \mod 6, \end{equation}
kus a = 3 ja b = 4.
Nagu seletatud raamatus „Concrete Mathematics“ (Graham, Knuth ja Patashnik), leitakse kordajad a ja b tähelepanekust, et kui (1, 0) \to a ja (0,1) \to b, siis (x,y) \to (a x + b y) \mod 6. Nõnda saab a ja b leida võrranditest
\begin{equation} a = 1 \mod 2, \quad a = 0 \mod 3, \quad b = 0 \mod 2, \quad b = 1 \mod 3. \end{equation}

Võime seost \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} = \mathbb{Z}_{6} visualiseerida kui
× =

Pange tähele, et 4 = -2 \mod 6 and 5 = -1 \mod 6 on kooskõlas sellega, et esitus 4 on \mathbb{Z}_{6} esituse 2 kaaskompleks ja 5 on 1 kaaskompleks.