Feynmani parametriseering & deltafunktsioon

Feynmani parametriseering on viis kirjutada lahti murd, mille nimetajas on korrutis: \begin{equation} \frac{1}{A_1 A_2 \ldots A_m} = (m-1)! \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \ldots \int_0^1 du_{m} \frac{\delta(1 - u_1 - \ldots - u_m)}{[A_1 u_1 + A_2 u_2 + \ldots + A_m u_m]^m}, \label{eq:feynmanparam} \end{equation}mille mõtles välja Richard Feynman, et arvutada silmusintegraale.

Deltafunktsioon ja integreerimisrajad

Feynman parametriseeringus on meil mitmekordne määratud integraal kujul \begin{equation} \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \ldots \int_0^1 du_{m} \delta(1 - u_1 - \ldots - u_m) f(u_1, \ldots, u_m). \end{equation}

Integreerides üle $u_m$, annab deltafunktsioon funktsioonis $f$ muutujale $u_m$ väärtuse $1-u_1-\ldots-u_{m-1}$, kuid mitte ainult seda. Deltafunktsioon sõltub Feynmani parameetritest $u_1, \ldots, u_{m-1}$. Kui deltafunktsiooni piik peaks langema integreerimisintervallist $[0,1]$ välja, on integraal üle $u_m$ null; muul juhul on see üks.

Pange tähele, et selleks peab integraal üle deltafunktsiooni võrduma ühega isegi siis, kui deltafunktsiooni argument langeb kokku ühe integreerimisrajaga. (Mõnel juhul on sel juhul mugavam defineerida deltafunktsiooni väärtuseks $1/2$.) Sama käib ühikastme kohta.

Seda väljendab \begin{equation} \int_0^1 du_{m} \delta(1 - u_1 - \ldots - u_m) = \theta(1 - u_1 - \ldots - u_{m-1})) \theta(u_1 + \ldots + u_{m-1}). \end{equation} Teine ühikaste on samaväärne võrratusega \begin{equation} 0 \leqslant u_1 + \ldots + u_{m-1}, \end{equation} mis on järgmistes integreerimistes automaatselt rahuldatud. Esimene ühikaste ütleb, et \begin{equation} u_1 + \ldots + u_{m-1} \leqslant 1, \end{equation} mis sisuliselt seab järgmise integraali (üle $u_{m-1}$) ülemiseks rajaks $1 - u_1 - \ldots - u_{m-2}$, ja nõnda edasi.

Näiteks \begin{equation} \begin{split} & \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \int_0^1 du_{3} \delta(1 - u_1 - u_2 - u_3) f(u_1, u_2, u_3) =\\ &= \int_0^1 du_1 \int_0^{1 - u_1} du_2 f(u_1, u_2, 1 - u_1 - u_2). \end{split} \end{equation}

Üks Feynmani parametriseeringu vorm

üks Feynmani parametriseeringu vorm on \begin{equation} \begin{split} &\frac{1}{A_1 A_2 \ldots A_m} =\\ & (m-1)! \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \ldots \int_0^1 du_{m-1} \\ & \frac{u_1^{m-2} \ldots u_{m-2}}% {[A_m u_1 \ldots u_{m-1} + A_{m-1} u_1 \ldots u_{m-2} (1-u_{m-1}) + \ldots + A_1 (1-u_1)]^m} \end{split} \label{eq:feynmanparamvar} \end{equation} mida võib olla lihtsam integreerida kui tavalist vormi, kuna kõik integreerimisrajad on samad.

Tõestada on \eqref{eq:feynmanparamvar} lihtne induktsiooni abil. Kui nimetajas on kaks tegurit, on parametriseering \begin{equation} \begin{split} & (2-1)! \int_0^1 du \frac{1}{[B u + A (1-u)]^2} \\ & = \int_0^1 du \frac{1}{[(B - A) u + A]^2} \\ & = -\frac{1}{B - A} \left[\frac{1}{(B - A) + A} - \frac{1}{A} \right] \\ & = \frac{1}{A - B} \left[\frac{1}{B} - \frac{1}{A} \right] \\ & = \frac{1}{A B}. \end{split} \end{equation}

Eeldades \eqref{eq:feynmanparamvar}, kui nimetajas on $m$ tegurit, peame me näitama, et $m+1$ teguri korral saame peale üle $u_m$ integreerimist $1/A_{m+1}$ korda \eqref{eq:feynmanparamvar}.

Meil on \begin{equation} \label{eq:feynmanparamvarm+1} \begin{split} & m! \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \ldots \int_0^1 du_{m} \\ & \frac{u_1^{m-1} \ldots u_{m-1}} {[A_{m+1} u_1 \ldots u_{m} + A_{m} u_1 \ldots u_{m-1} (1-u_{m}) + \ldots + A_1 (1-u_1)]^{m+1}}. \end{split} \end{equation} Integreerimismuutuja $u_m$ esineb ainult kahes esimeses summa liikmes. Teisiti kirjutades \begin{equation} \begin{split} & m! \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \ldots \int_0^1 du_{m} \\ & \frac{u_1^{m-1} \ldots u_{m-1}}% {[(A_{m+1} - A_{m}) u_1 \ldots u_m + A_m u_1 \ldots u_{m-1} + \ldots + A_1 (1-u_1)]^{m+1}} \\ & = -\frac{m!}{m} \frac{1}{A_{m+1} - A_{m}} \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \ldots \int_0^1 du_{m-1} \frac{u_1^{m-1} \ldots u_{m-1}}{u_1 \ldots u_{m-1}} \\ & \left\{ [(A_{m+1} - A_{m}) u_1 \ldots u_{m-1} + A_m u_1 \ldots u_{m-1} + \ldots + A_1 (1-u_1)]^{-m} \right. \\ & \left. - [A_m u_1 \ldots u_{m-1} + \ldots + A_1 (1-u_1)]^{-m} \right\} \\ & = (m-1)! \frac{1}{A_{m} - A_{m+1}} \int_0^1 du_1 \int_0^1 du_2 \ldots \int_0^1 du_{m-1} u_1^{m-2} \ldots u_{m-2} \\ & \left\{ [A_{m+1} u_1 \ldots u_{m-1} + A_{m-1} u_1 \ldots (1 - u_{m-1}) + \ldots + A_1 (1-u_1)]^{-m} \right. \\ & \left. - [A_m u_1 \ldots u_{m-1} + A_{m-1} u_1 \ldots (1 - u_{m-1}) + \ldots + A_1 (1-u_1)]^{-m} \right\} \\ & = \frac{1}{A_{m} - A_{m+1}} \left( \frac{1}{A_{m+1} A_{m-1} \ldots A_1} - \frac{1}{A_{m} A_{m-1} \ldots A_1} \right) \\ & = \frac{1}{A_{m-1} \ldots A_1} \frac{1}{A_{m} - A_{m+1}} \left( \frac{1}{A_{m+1}} - \frac{1}{A_{m}} \right) \\ & = \frac{1}{A_1 A_2 \ldots A_m}, \end{split} \end{equation} kus oleme integraalid võtnud \eqref{eq:feynmanparamvar} abiga.