Kompleksse singleti vaakumi stabiilsus

Puu-taseme vaakumi stabiilsuse tingimuste tuletamiseks on õige mitu viisi. Suurte välja väärtuste piirjuhul on massi- ja kuupliikmed väikesed ja nendega ei pea arvestama – piisab neljandat järku liikmetest. Hea näide on lihtsaim mittetriviaalne neljandat järku potentsiaal, ilma otsese CP-rikkumiseta (kõik seosed on reaalsed) kompleksse singleti $S$ potentsiaal: \begin{equation} V = \lambda_{S} |S|^{4} + \frac{\lambda'_{S}}{2} (S^{4} + S^{\dagger 4}) + \frac{\lambda''_{S}}{2} |S|^{2} (S^{2} + S^{\dagger 2}). \label{V:complex} \end{equation} Võime kirjutada $S$ komponentväljad kas rist- või polaarkoordinaatides, \begin{equation} S = \frac{S_{R} + i S_{I}}{\sqrt{2}} = s e^{i \phi_{S}}, \end{equation} mis puhul potentsiaal omandab kuju \begin{equation} V = \frac{1}{4} \left[ (\lambda_{S} + \lambda'_{S} + \lambda''_{S}) S_{R}^{4} + 2 (\lambda_{S} - 3 \lambda'_{S}) S_{R}^{2} S_{I}^{2} + (\lambda_{S} + \lambda'_{S} - \lambda''_{S}) S_{I}^{4} \right] \label{V:Cartesian} \end{equation} või \begin{equation} V = \left( \lambda_{S} + \lambda'_{S} \cos 4 \phi_{S} + \lambda''_{S} \cos 2 \phi_{S} \right) s^{4}. \label{V:polar} \end{equation}

Valemist \eqref{V:Cartesian} saame $(S_{R}^{2}, S_{I}^{2})$ baasis välja kirjutada neljandat järku seoste maatriksi: \begin{equation} \Lambda = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \lambda_{S} + \lambda'_{S} + \lambda''_{S} & \lambda_{S} - 3 \lambda'_{S} \\ \lambda_{S} - 3 \lambda'_{S} & \lambda_{S} + \lambda'_{S} - \lambda''_{S} \end{pmatrix}. \label{eq:Lambda:Cartesian} \end{equation} Kuna $S_{R}^{2}$ ja $S_{I}^{2}$ on mittenegatiivsed, peab maatriks $\Lambda$ olema kopositiivne, et potentsiaal oleks alt tõkestatud. Loomulikult peavad diagonaalelemendid olema positiivsed, kuna võime võtta eraldi kas $S_{R}^{2}$ või $S_{I}^{2}$ nulliks. Lisaks ei saa mittediagonaalne element olla liiga negatiivne. Kokkuvõttes on vaakumi stabiilsuse tingimused \begin{align} \lambda_{S} + \lambda'_{S} + \lambda''_{S} & \geqslant 0, \label{eq:vac:stab:SR} \\ \lambda_{S} + \lambda'_{S} - \lambda''_{S} & \geqslant 0, \label{eq:vac:stab:SI} \\ \lambda_{S} - 3 \lambda'_{S} + \sqrt{ (\lambda_{S} + \lambda'_{S})^{2} - \lambda_{S}^{\prime\prime 2} } &\geqslant 0. \label{eq:vac:stab:Cartesian:last} \end{align}

Samaväärselt võime nõuda, et $s^{4}$ kordaja valemis \eqref{V:polar} peab olema positiivne. Kuna $\phi_{S}$ on vaba parameeter, tuleb potentsiaal selle suhtes minimiseerida. Ekstreemumi tingimus on \begin{equation} 2 \lambda'_S \sin 4 \phi_S + \lambda''_S \sin 2 \phi_S = (\lambda'_S + 4 \lambda''_S \cos 2 \phi_S) \sin 2 \phi_S = 0, \end{equation} mille lahendid on $\phi_S = \pm n \frac{\pi}{2}$ ja $\phi_S = \frac{1}{2} \left[ \pm \arccos \left(-\frac{\lambda''_S}{4 \lambda'_S} \right) + 2 n \pi \right]$. Esimene lahend reprodutseerib \begin{equation} \lambda_S + \lambda'_S \pm \lambda''_S \geqslant 0, \label{eq:S:self-couplings:copos:min:always} \end{equation} kuna teine lahend annab \begin{equation} \lambda_{S} - \lambda'_{S} - \frac{\lambda_{S}^{\prime\prime 2}}{8 \lambda'_{S}} \geqslant 0. \label{eq:S:self-couplings:copos:min} \end{equation} Pange tähele, et viimane tingimus peab kehtima ainult siis, kui arkuskoosinuse argument on oma määramispiirkonnas \begin{equation} -1 \leqslant -\frac{\lambda''_S}{4 \lambda'_S} \leqslant 1. \label{eq:arccos:cond} \end{equation}

Muide, Sylvesteri kriteerium annab üsna sarnased (kuid piiravamad) tingimused singleti enesevastastikmõju sidurite tavaliseks positiivsuseks: \begin{equation} 8 (\lambda_{S} - \lambda'_{S}) \lambda'_{S} - \lambda_{S}^{\prime\prime 2} \geqslant 0. \label{eq:S:self-couplings:pos} \end{equation}

Joonisel

on näidatud $\lambda''_{S}$ vs. $\lambda'_{S}$ tasandil, kui $\lambda_{S} = 1/2$ (tumehall) ja $\lambda_{S} = 1$ (helehall). Helepunases piirkonnas ei ole tõene \eqref{eq:arccos:cond} ja tingimus \eqref{eq:S:self-couplings:copos:min} seega ei kehti. Kui seda arvesse mitte võtta, jätaksime osa lubatud piirkonnast välja.

Veel üks võimalus kopositiivsust määrata on Kaplani kriteerium: sümmeetriline maatriks $A$ on kopositiivne siis ja ainult siis, kui ühelgi $A$ printsipaalne alam-maatriks $B$ pole omavektorit $v > 0$, millele vastav omaväärtus $\lambda \leqslant 0$. Selle eelis on, et seda saab kergesti üldistada kopositiivsetele tensoritele. Maatriksite jaoks langeb tensori karakteristlik võrrand \begin{equation} \Lambda v^{m-1} = \lambda v^{[m-1]}, \end{equation} kus $m$ on tensori $\Lambda$ järk, kokku tavalise maatriksi karakteristliku võrrandiga (vektori $v^{[n]}$ iga element on $v$ vastav element astmel $n$). Nagu maatriksitelgi, on kopositiivsete tensorite diagonaalsed elemendid positiivsed, andes \eqref{eq:vac:stab:SR} and \eqref{eq:vac:stab:SI}. Lahendades karakteristliku võrrandi, leiame kahe omavektori ja neile vastavate omavektorite jaoks \begin{equation} (S_{I}^{2})_{\pm} = \frac{-\lambda''_{S} \pm \sqrt{(\lambda_{S} - 3 \lambda'_{S})^{2} + \lambda_{S}^{\prime\prime 2}}} {\lambda_{S} - 3 \lambda'_{S}} S_{R}^{2}, \quad \lambda_{\pm} = \frac{1}{4} \left( \lambda_{S} + \lambda'_{S} \mp \sqrt{(\lambda_{S} - 3 \lambda'_{S})^{2} + \lambda_{S}^{\prime\prime 2}} \right), \end{equation} kus võime võtta $S_{R}^{2} > 0$. Et Kaplani kriteerium oleks rahuldatud, peab olema \begin{equation} S_{I}^{2} > 0 \implies \lambda > 0.\end{equation} See tingimus koos tingimustega \eqref{eq:vac:stab:SR} ja \eqref{eq:vac:stab:SI}) reprodutseerib joonisel halli ja tumehalli piirkonna (antud juhul osutub piiravaks lahend $S_{I}^{2})_{-})$.

On veel üks, vähem üldine viis vaakumi stabiilsuse tingimuste tuletamiseks. Baasist $S_{R,I}^{2}$ saab üle minna baasi \begin{equation} s_0 = |S|^{2} \quad \text{and} \quad s_1 = \frac{S^{2} + S^{\dagger 2}}{2}. \end{equation} Tõepoolest, \begin{equation} s_0 = \frac{S_{R}^{2} + S_{I}^{2}}{2} \quad \text{and} \quad s_1 = \frac{S_{R}^{2} - S_{I}^{2}}{2}, \end{equation} ja saame avaldada \begin{equation} \frac{1}{2} (S^4 + S^{\dagger 4}) = 2 \left( \frac{S^{2} + S^{\dagger 2}}{2} \right)^{2} - |S|^{2} = 2 s_1^{2} - s_0^{2}. \end{equation}

Skalaarne potentsiaal omandab kuju \begin{equation} \begin{split} V &= \lambda_{S} s_0^{2} + \lambda'_{S} (2 s_1^{2} - s_0^{2}) + \lambda''_{S} s_0 s_1 \\ &\equiv \Lambda_{00} s_0^{2} + 2 \Lambda_{01} s_0 s_1 + \Lambda_{11} s_1^{2}. %, % \\ % &= s_0^{2} (\Lambda_{00} + 2 \Lambda_{01} s + \Lambda_{11} s^{2}), \end{split} \label{eq:V:singlet:invs} \end{equation}

Seoste maatriks $s_0, s_1$ baasis on \begin{equation} \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_S - \lambda'_S && \frac{\lambda''_S}{2} \\ \frac{\lambda''_S}{2} && 2 \lambda'_S \end{pmatrix}. \end{equation}

Definitsiooni järgi on $s_0 \geqslant 0$; samuti $s_0^{2} - s_1^{2} = S_{R}^{2} S_{I}^{2} \geqslant 0$ mis defineerib väljaruumis $SO(1,1)$ valguskoonuse, analoogselt kahe Higgsi dubleti mudeli $SO(1,3)$ valguskoonusega.

See töötab isegi otsese CP-rikkumise korral: võime kasutada $S$ faasinihet, et kehtiks seos $\phi_{\lambda''_{S}} = \phi_{\lambda'_{S}}/2$.

Saame tensori $\Lambda$ diagonaliseerida „Lorentzi teisendusega“ \begin{equation} \begin{pmatrix} \phantom{-}\cosh \phi && -\sinh \phi \\ -\sinh \phi && \phantom{-}\cosh \phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Lambda_{00} && \Lambda_{01} \\ \Lambda_{01} && \Lambda_{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\cosh \phi && -\sinh \phi \\ -\sinh \phi && \phantom{-}\cosh \phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda_{0} && 0 \\ 0 && -\Lambda_{1} \end{pmatrix}. \end{equation} Tensoril $\Lambda$ on ajasarnane omaväärtus $\Lambda_0$ ja ruumisarnane omaväärtus $-\Lambda_1$. Need on \begin{align} \Lambda_{0} &= \frac{1}{2} \left[ \Lambda_{00} - \Lambda_{11} +\sqrt{ (\Lambda_{00} + \Lambda_{11})^{2} - 4 \Lambda_{01}^{2} } \right], \\ \Lambda_{1} &= \frac{1}{2} \left[ \Lambda_{00} - \Lambda_{11} - \sqrt{ (\Lambda_{00} + \Lambda_{11})^{2} - 4 \Lambda_{01}^{2} } \right] \end{align} ehk \begin{align} \Lambda_{0} &= \frac{1}{2} \left[ \lambda_{S} - 3 \lambda'_{S} +\sqrt{ (\lambda_{S} + \lambda'_{S})^{2} - \lambda_{S}^{\prime \prime 2} } \right], \\ \Lambda_{1} &= \frac{1}{2} \left[ \lambda_{S} - 3 \lambda'_{S} - \sqrt{ (\lambda_{S} + \lambda'_{S})^{2} - \lambda_{S}^{\prime \prime 2} } \right]. \end{align}

Et vaakum oleks alt tõkestatud, on vaja \begin{equation} \Lambda_0 \geqslant 0 \quad \text{and} \quad \Lambda_0 \geqslant \Lambda_1. \end{equation}

Näeme, et $\Lambda_0 \geqslant 0$ vastab otse tingimusele \eqref{eq:vac:stab:Cartesian:last}. Valemist $\Lambda_{0} \geqslant \Lambda_{1}$ saame \begin{equation} (\lambda_S + \lambda'_S + \lambda''_S) (\lambda_S + \lambda'_S - \lambda''_S) > 0. \end{equation} Mõlemad tegurid võivad olla korraga kas positiivsed või negatiivsed. Aga kui $\lambda''_{S} = 0$, siis $\Lambda_{0} > \Lambda_{1}$ annab $\lambda_{S} + \lambda'_{S} > 0$. Järelikult peavad mõlemad tegurid olema positiivsed ja oleme reprodutseerinud kõik tingimused \eqref{eq:vac:stab:SR}, \eqref{eq:vac:stab:SI} and \eqref{eq:vac:stab:Cartesian:last}.