Eelmistel kordadel

• kahe rühma vahelised erinevused arvulise tunnuse puhul: t-test
• rühmade vahelised erinevused erinevused nominaaltunnuse puhul: hii-ruut
• kahe tunnuse vahelised seosed: korrelatsioon

Tänased teemad

• Lineaarne regressioon
  • arvulise seletava tunnusega
  • kategoriaalse seletava tunnusega
• ANOVA
• Post-hoc test (Tukey HSD)

Mudeli eeldused

Nagu t-testigi puhul, on lineaarse regressiooni eelduseks, et

• mõõtmised on üksteisest sõltumatud
• arvulised tunnused on normaaljaotusega
  
  
• ja lisaks, et seos on lineaarne

Näide 1: Kas lühemaid sõnu tuntakse kiiremini ära?

Kasutame eelmisest korrast tuttavat Levshina õpiku andmestikku ldt. Eelmisel korral leidsime, et sõnade äratundmise keskmise reaktsiooniaja ja sõna pikkuse vahel oli positiivne korrelatsioon. Proovime sama lineaarse regressioonimudeliga testida.

ldt <- read.csv("ldt.csv")
plot(Mean_RT~Length, data=ldt, xlab="Sõna pikkus", ylab="Keskmine reaktsioonikiirus")
m <- lm(Mean_RT~Length, data=ldt, subset=Mean_RT < 1200)
abline(m, col="red")

Kas mudeli eeldused on täidetud?

• Iga sõna esineb andmestikus ühe korra, rühma keskmised reaktsiooniajad.
• Kas tunnused on normaaljaotusega? Testime!
  • sõna pikkus on
  • reaktsiooniaeg on, kui logaritmida
  • reaktsiooniaeg on normaaljaotusega ka siis, kui välja jätta 3 eriti suurt väärtust :)

Lineaarse mudeli saab käsuga lm(), mida kasutasime juba regressioonijoone joonistamiseks.

ldt2 <- ldt[ldt$Mean_RT < 1200,]
m <- lm(Mean_RT~Length, data=ldt2)

Mudelist ülevaate saamiseks kasutame käsku summary()

summary(m)

## 
## Call:
## lm(formula = Mean_RT ~ Length, data = ldt2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -259.247  -63.097   -0.795   53.320  224.378 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  547.379     35.950  15.226  < 2e-16 ***
## Length        30.242      4.261   7.096 2.29e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 99.96 on 95 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3465, Adjusted R-squared:  0.3396 
## F-statistic: 50.36 on 1 and 95 DF,  p-value: 2.289e-10

Kuidas regressioonimudeli tulemust lugeda?

1. Kas mudel on oluline? Mudeli väljundi viimane rida annab mudeli üldise p-väärtuse, mis on 2.289e-10 ehk 2.289 * 10 ^ -10 ehk

format(2.289e-10, scientific = F)

## [1] "0.0000000002289"

Niisiis mudel on oluline tasemel p<0.001***. See tähendab, et tõenäosus juhuslikult selline tulemus saada on väga väike ja võime hüljata 0-hüpoteesi.

2. Kui hea mudel on? Eelviimane rida, R-ruut (R-squared) näitab protsentuaalselt, kui palju uuritava tunnuse varieerumisest mudel kirjeldab. Antud juhul 35%.
3. Estimate ehk mudeli prognoos näitab, kui palju kirjeldava tunnuse muutudes uuritav tunnus muutub.
   • Esimene rida (Intercept) ehk vabaliige ütleb, mis on uuritava tunnuse väärtus siis, kui seletava tunnuse väärtus on 0.
   • Teine rida (slope) ehk kalle ütleb, kui palju uuritav tunnus muutub siis, kui seletava tunnuse väärtus muutub ühe ühiku võrra.

Vaatame joonist uuesti natuke lähemalt:

Vabaliige on y telje väärtus, kui x on 0, kalle on y väärtuse muutus, kui x on 1. See, et tegelikult andmed x-teljel 0 ja 1 punkte ei läbi (ei saagi läbida, sest ühegi sõna pikkus ei saa olla 0), ei oma tähtsust. Kuna tegemist on lineaarse regressiooniga, siis me võime vabaliikme ja kalde väärtuste põhjal tuletada ükskõik millise punkti väärtused.

• Kuna suhe on lineaarne, siis eeldame, et kirjeldava tunnuse kasvades näiteks 5 ühiku võrra kasvab sõltuv tunnus samuti 5*regressioonikorda võrra.
• Mudeli võib kirja panna y = A + Bx
• Reaktsiooniaeg = 547 + 30 * sõna pikkus

Näide 2: Kas doktoritööde maht on aastatega kahanenud?

Loeme sisse tabeli eesti keele eriala doktoritööde bibliograafiaga. Kuna see on tabulatsioonidega eristatud tabelifail, siis võib selle lugemiseks kasutada read.table() alamkäsku read.delim(). Funktsioon on sama, argumentide vaikeväärtused on veidi erinevad.

dokt <- read.delim("DISSERTATIONES_PHILOLOGIAE_ESTONICAE.txt")

Kontrollime mudeli eeldusi: - Sõltumatute tunnuste eeldus kehtib: mõõtmised on sõltumatud, iga rida andmestikus on üks iseseisev dissertatsioon, korduvaid autoreid või korduvaid väitekirju ei esine. - kas lehekülgede arv ja ilmumisaasta on normaaljaotusega? Kontrollime qqnorm ja Shapiro testiga.

Teeme lineaarse mudeli, kus aasta on kirjeldav tunnus ja lehekülgede arv on sõltuv tunnus. Kui korrelatsiooni puhul ei olnud oluline, kumb on x ja kumb on y, siis lineaarses mudelis y on sõltuv tunnus, mida sõltumatud kirjeldavad tunnused kirjeldavad. Kahe arvulise tunnuse seose vaatamisel töötaks seos sama hästi ka teist pidi, aga ei pruugi olla loogiline. Näiteks siingi on loogiline, et väitekirja maht võib sõltuda sellest, millal ta kirjutati, aga kindlasti ei saa sõltuda väitekirja kirjutamise aasta sellest, kui mahukaid töid siis kaitsti.

mudel <- lm(lk~aasta, data=dokt)
summary(mudel)

## 
## Call:
## lm(formula = lk ~ aasta, data = dokt)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -154.720  -48.182   -1.818   28.347  238.156 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -4628.590   3148.199  -1.470    0.149
## aasta           2.412      1.568   1.538    0.131
## 
## Residual standard error: 77.48 on 42 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.05333,    Adjusted R-squared:  0.03079 
## F-statistic: 2.366 on 1 and 42 DF,  p-value: 0.1315

See mudel ei ole oluline: mudeli väljundi viimane rida ütleb, et võimalus sellist seost juhuslikult leida on 13% ehk p on suurem kui ɑ ehk 0.05. Seega tuleb jääda 0-hüpoteesi juurde.

plot(lk~aasta, data=dokt, main="Eesti keele doktoritööde maht")
abline(mudel)

Kuigi see mudel ei ole oluline ja ülejäänud mudeli väljundit pole põhjust anlüüsid, võiks korraks vaadata koefitsiente. Miks mudeli vabaliige (Intercept) on negatiivne? Sest mudel arvestab seda lõikumisena 0-punktis ja seletava tunnuse aasta mõõdetud väärtused on 0-punktist väga kaugel. Kui eeldada lineaarset suhet, siis mudeli järgi oli aastal 0 doktoritööde maht -4628 lehekülge. Tegelikult ei peaks muidugi vaatama mudelit tegelike andmete muutumispiirkonnast väljaspool. Põhimõtteliselt oleks ka võimalik mitte mudelile vabaliiget jätta või siis teisendada andmeid nii, et 0 oleks näiteks esimene vaadeldav aasta, kust meil on mõõtmisi.

Näide 3: Kas kandidaadi sugu mõjutab häältesaaki?

Võtame valimistulemuste andmestiku ja vaatame alustuseks kahe tasemega faktorit: kas sugu mõjutab häältesaaki?

load("kandidaadid.RData")

Kas mudeli eeldused on täidetud?

• Mäletatavasti tunnus haali_kokku ei ole normaaljaotusega, aga kui see logaritmida, siis vastab normaaljaotuse tunnustele. Kuna kandidaate oli rohkem kui 30, siis võiks ka normaaljaotuse eeldust ignoreerida, aga kui logaritmimine aitab normaalajotust saavutada, siis võiks seda ikkagi teha.
• Mõõtmised on sõltumatud: iga kandidaat on individuaalne isik ja esindatud andmestikus ühe reaga.

Milline tase valida baastasemeks? Mõnel juhul on lihtne ja selge, et üks väärtus on kuidagi moodi vaikimisi väärtus ja teised väärtused on markeeritud. Aga ka siis, kui meil pole mingit sisulist või ideoloogilist eelistust, peame valima ühe taseme baastasemeks.

Kahetasemelise faktori puhul ei ole mudeli väljundi tõlgenduse seisukohast väga suurt vahet, mis on baastase, aga sellest sõltub, mis on vabaliige ehk intercept. Vaikimisi on baastase faktori esimene tase ja kui me pole nominaalse tunnuse tasemete järjekorda faktorina eksplitsiitselt määranud, siis enamasti on see lihtsalt tähestikulises järjekorras.

sugu.lm <- lm(log(haali_kokku)~sugu, data=kandidaadid)
summary(sugu.lm)

## 
## Call:
## lm(formula = log(haali_kokku) ~ sugu, data = kandidaadid)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.0875 -1.1053  0.0254  1.0231  5.0573 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  5.08749    0.05773  88.120   <2e-16 ***
## sugunaine   -0.23767    0.10018  -2.372   0.0178 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.564 on 1097 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.005104,   Adjusted R-squared:  0.004197 
## F-statistic: 5.628 on 1 and 1097 DF,  p-value: 0.01785

Muus osas on nominaalse faktoriga mudeli väljund sama nagu arvuilse sõltumatu tunnuse puhul:

• mudeli üldist olulisust näitab p-väärtus viimasel real, mis ütleb, kui tõenäone on sellist tulemust saada juhuslikult. p = 0.01785 < ɑ, seega võib mudelit oluliseks pidada.
• mudeli üldist headust nätab R-ruut eelviimasel real, mis ütleb, mitu protsenti uuritava tunnuse varieerumisest seletav(ad) tunnused kirjeldab. Seos on võrdlemisi nõrk, R-ruut on 0.005 ehk sugu kirjeldab ainult 0.5% häältesaagi varieerumisest, 99,5% ulatuses sõltub see millestki muust.

AGA nüüd on vabaliikmeks ehk mõtteliseks 0-punktiks faktori baastase. St esimene rida (Intercept) ütleb, mis on häältesaagi väärtus juhul, kui sugu on baastasemel ehk “mees” ning teine rida ehk slope ütleb seda, kui palju see muutub siis, kui faktori tase on “naine”.

Kuidas tulemust tõlgendada?

Mudel annab prognoositud väärtused: meeste häälesaak on 5.08749 ühikut ja naiste oma on meeste omast -0.23767 võrra erinev. Ühikud on üldiselt samad mudeli sisendiks olnud ühikud, ehk hääled, AGA siin peab meeles pidama, et kui normaliseerimise eesmärgil sai uuritav tunnus logaritmitud, siis mudeli prognoositud väärtustest algse ühiku kätte saamiseks peame tegema logaritmimise pöördtehte ehk astendama:

# Meeste häältesaak on vabaliikme väärtus
exp(sugu.lm$coefficients[1])

## (Intercept) 
##    161.9826

# Naiste väärtuse saamiseks tuleb koefitsiendid kokku liita
exp(sugu.lm$coefficients[1]+sugu.lm$coefficients[2])

## (Intercept) 
##    127.7179

Näide 4: Kas haridus mõjutab häältesaaki?

Proovime nüüd testida seletavat tunnust, millel oleks rohkem kui kaks taset. Haridusel on kandidaatide andmestikus 4 taset, aga kuna algharidusega kandidaate on ainult 1, siis ilmselt oleks mõistlik jätta see kandidaat analüüsist välja, sest üks mõõtmispunkt on liiga vähe, et seost kirjeldada.

haridus.lm <- lm(log(haali_kokku)~haridus, data=kandidaadid, subset = haridus != "Algharidus")
summary(haridus.lm)

## 
## Call:
## lm(formula = log(haali_kokku) ~ haridus, data = kandidaadid, 
##     subset = haridus != "Algharidus")
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.3599 -1.0568  0.0468  0.9530  4.6607 
## 
## Coefficients:
##                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)         4.35993    0.09282  46.971   <2e-16 ***
## haridusKõrgharidus  0.88651    0.10679   8.302    3e-16 ***
## haridusPõhiharidus -1.02977    0.41437  -2.485   0.0131 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.511 on 1095 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.07314,    Adjusted R-squared:  0.07144 
## F-statistic:  43.2 on 2 and 1095 DF,  p-value: < 2.2e-16

Mudeli väljund ütleb meile et:

• mudel on erinev juhuslikust, oluline, p<0.001
• seos on endiselt võrdlemisi nõrk, kuigi tugevam, kui soo puhul: mudel kirjeldab 7% häältesaagi varieerumisest.
• Mudeli prognoosi osa, koefitsientide tabel toob välja kirjeldava tunnuse võrdlused baastaseme ja teiste tasemete vahel. Siin võiks vaadata nii esimest tulpa Estimate ehk mudeli hinnang väärtuse suurusele ja viimast tulpa p-väärtus ehk hinnang taseme hinnangu olulisusele.
  • Esimesel real on intercept ehk baastase, siin mudelis keskharidus, mille väärtus on 4.36 logartimitud häält ehk 78.25 häält. Siin real p <0.001*** ei ole eriti tähenduslik (tähendab, et on nullist erinev);
  • Teisel real on kõrgharidusega kandidaatide erinevus keskharidusega kandidaatide häältesaagist ehk 4.36. Kui see oleks algsetes ühikutes, siis võiksime öelda, et see rühk sai nii palju rohkem hääli, aga kuna me logaritmisime väärtused enne modelleerimist, siis peame kõigepealt prognoositud tulemuse kokku arvutama ja siis astendama (käsuga exp()): kõrgharitute logaritmitud häältesaak oli 4.36 + 0.89 = 5.25 ehk 189.89. Ja see erinevus keskharidusega kandidaatidest on oluliselt erinev p<0.001.
  • Kolmandal real on põhiharidusega kandidaatide erinevus Keskharidusega kandidaatidest, mis on jällegi 4.36 + -1.03 = 3.33 ehk 27.94 häält. See erinevus on ka oluliselt erinev juhuslikust tasemel p<0.05.
  • Mudel otseselt mittebaastasemete erinevust ei võrdle, sest kõigi tasemete hinnatavad väärtused on esitatud ja selle kaudu on teada, kas tasemete hulgas leidub mõni, mis on teistest erinev, mille põhjal otsustada, kas faktoril üldiselt on mõju või ei ole.

Näide 3b: sugu ja häältesaak

sugu.lm <- lm(log(haali_kokku)~sugu, data=kandidaadid)
anova(sugu.lm)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: log(haali_kokku)
##             Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
## sugu         1   13.77 13.7696  5.6281 0.01785 *
## Residuals 1097 2683.88  2.4466                  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Kuidas väljundit lugeda?

• Tabelis on rida iga faktori kohta (siin üks faktor, sugu) ja lõpuks rida mudeli jääkide kohta.
• Iga faktori puhul hinnatakse rühmadevahelist dispersiooni valimi üldise populatsiooniga, millest kokku tuleb ANOVA statistik F.
• F väärtuse statistiline olulisus sõltub vabadusastmetest. Faktori vabadusasmed on tasemete arv miinus üks, ehk soo puhul 2-1=1; Valimi vabadusastmete arv on mõõtmiste arv miinus võrreldavate konditsioonide arv ehk 1099 (kandidaati) - 2 (mehed/naised) = 1097.

Kahe tasemega faktori puhul on tulemus võrdlemisi sarnane t-testiga.

t.test(log(haali_kokku)~sugu, data=kandidaadid)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  log(haali_kokku) by sugu
## t = 2.4084, df = 756.57, p-value = 0.01626
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.04394483 0.43138548
## sample estimates:
##  mean in group mees mean in group naine 
##            5.087489            4.849824

Näide 4b: haridus ja häältesaak

Nüüd näide rohkem kui kahe tasemega faktorist: kandidaatide andmestikus haridus on 4 taset, või kui ainult ühe mõõtmisega põhiharidus välja visata, siis on 3 taset. Ainult üks mõõtmine on endiselt liiga vähe. Aga kolme rühmaga enam t-testi teha ei saa.

haridus.lm <- lm(log(haali_kokku)~haridus, data=kandidaadid, subset = haridus != "Algharidus")
anova(haridus.lm)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: log(haali_kokku)
##             Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## haridus      2  197.27  98.637  43.202 < 2.2e-16 ***
## Residuals 1095 2500.07   2.283                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

• Anova tulemuse põhjal võime öelda, et haridusel on oluline üldefekt.
• See tähendab, et “leidub vähemalt üks rühm, mille keskmine on teistest oluliselt erinev”.
• Artiklis saab ANOVA tulemuse teksti sees kirja panna nii:
  F(2, 1095) = 43.202, p < 0.001
• Kuna siin on rohkem kui 2 rühma, siis selleks, et otsustada, kes kellest erines, peaks tegema post-hoc testi.

Bonferroni parandus

Üks võimalus oleks korrata lineaarset mudelit nii mitu korda, nagu on tarvis kõigite tasemete võrdlemiseks, muutes iga testikorral vastavalt faktori baastaset. Seejärel tulemuste tõlgendamisel jagatakse usaldusnivoo korduste arvuga. Seda nimetatakse Bonferroni paranduseks (Bonferroni correction). Näiteks kui meil on 3 faktori taset, siis kõigi võrdluste saamiseks peame kordama testi 2 korda ja langetama ɑ taset vastavalt 0.05/2 = 0.025.

Näites 4 saime teada, et keskharidusega (baastase) kandidaatide häältesaak oli oluliselt erinev kõrgharidusega (p<0.001) ja põhiharidusega (p<0.05) kandidaatidest:

summary(haridus.lm)

ning ANOVA testi põhjal võime öelda, et haridus on oluline faktor [F(2, 1095) = 43.202, p < 0.001], sest leidub tase, mis on teistest erinev:

anova(haridus.lm)

siis me ei tea, kas kõrgharidus ja põhiharidus omavahel ka erinevad on.

Kordame lihtsalt lineaarset mudelit muudetud baasväärtusega. Sellks võib andmestikus muuta ära baasväärtuse käsuga relevel(), aga kui me ei taha andmestikku muuta, võib ainult lm() käsu sees muuta faktori baastaset käsuga C(). Lisaks, kuna ühe haridustaseme jätsime välja, tuleks kasutada käsku droplevels(), mis eemaldab faktoritasemed, mida ei esine.

haridus.lm1 <- lm(log(haali_kokku)~C(droplevels(haridus), base=1), data=kandidaadid[ kandidaadid$haridus != "Algharidus",])
haridus.lm2 <- lm(log(haali_kokku)~C(droplevels(haridus), base=3), data=kandidaadid[ kandidaadid$haridus != "Algharidus",])
summary(haridus.lm1)

## 
## Call:
## lm(formula = log(haali_kokku) ~ C(droplevels(haridus), base = 1), 
##     data = kandidaadid[kandidaadid$haridus != "Algharidus", ])
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.3599 -1.0568  0.0468  0.9530  4.6607 
## 
## Coefficients:
##                                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                        4.35993    0.09282  46.971   <2e-16 ***
## C(droplevels(haridus), base = 1)2  0.88651    0.10679   8.302    3e-16 ***
## C(droplevels(haridus), base = 1)3 -1.02977    0.41437  -2.485   0.0131 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.511 on 1095 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.07314,    Adjusted R-squared:  0.07144 
## F-statistic:  43.2 on 2 and 1095 DF,  p-value: < 2.2e-16

summary(haridus.lm2)

## 
## Call:
## lm(formula = log(haali_kokku) ~ C(droplevels(haridus), base = 3), 
##     data = kandidaadid[kandidaadid$haridus != "Algharidus", ])
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.3599 -1.0568  0.0468  0.9530  4.6607 
## 
## Coefficients:
##                                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                         3.3302     0.4038   8.246 4.64e-16 ***
## C(droplevels(haridus), base = 3)1   1.0298     0.4144   2.485   0.0131 *  
## C(droplevels(haridus), base = 3)2   1.9163     0.4073   4.705 2.86e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.511 on 1095 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.07314,    Adjusted R-squared:  0.07144 
## F-statistic:  43.2 on 2 and 1095 DF,  p-value: < 2.2e-16

Nüüd saame mudeli väljunditest välja noppida kõikide paaride võrdluste p-väärtused. Kuna kordasime testi 2 korda, siis peame usaldusnivood langetama poole võrra, mis tähendab seda, et harjumuspäraste p-väärtuste saamiseks hoopis korutame need korduste arvuga:

summary(haridus.lm1)$coefficients[2:3, "Pr(>|t|)"] *2

## C(droplevels(haridus), base = 1)2 C(droplevels(haridus), base = 1)3 
##                      5.993082e-16                      2.619409e-02

summary(haridus.lm2)$coefficients[2:3, "Pr(>|t|)"] *2

## C(droplevels(haridus), base = 3)1 C(droplevels(haridus), base = 3)2 
##                      2.619409e-02                      5.721540e-06

Ja lõpetuseks veel, kui e astmetega komakohtade arvutamine tundub tüütu, võib R-i sundida teisendama:

format(summary(haridus.lm1)$coefficients[2:3, "Pr(>|t|)"] *2, scientific = F)

## C(droplevels(haridus), base = 1)2 C(droplevels(haridus), base = 1)3 
##        "0.0000000000000005993082"        "0.0261940889199223300721"

format(summary(haridus.lm2)$coefficients[2:3, "Pr(>|t|)"] *2, scientific = F)

## C(droplevels(haridus), base = 3)1 C(droplevels(haridus), base = 3)2 
##                   "0.02619408892"                   "0.00000572154"

Siit nüüd saame välja lugeda, et erinevused on:

• 1 (kesk) ja 2 (kõrg) p = 0.0000000000000005993082
• 1 (kesk) ja 3 (põhi) p = 0.02619408892
• 2 (kõrg) ja 3 (põhi) p = 0.00000572154

Tukey HSD

Teine võimalus on kasutada Tukey Honest Significant Differences testi, mis teeb kõigi kombinatsioonide võrdlused ja korrigeerib p-väärtuseid vastavalt.

R-is on Tukey testi sisendiks anova test. Anova testi tegemiseks on R-is mitu eri süntaksit, üks variant on panna lineaarne mudel anova käsu sisse. Tukey testi sisendiks peab aga kasutama käsku aov().

haridus.anova <- aov(log(haali_kokku)~haridus, data=kandidaadid, subset = haridus != "Algharidus")
summary(haridus.anova)

##               Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)    
## haridus        2  197.3   98.64    43.2 <2e-16 ***
## Residuals   1095 2500.1    2.28                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

TukeyHSD(haridus.anova)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = log(haali_kokku) ~ haridus, data = kandidaadid, subset = haridus != "Algharidus")
## 
## $haridus
##                                                   diff        lwr         upr
## Kõrgharidus-Keskharidus (sh keskeriharidus)  0.8865119  0.6358934  1.13713034
## Põhiharidus-Keskharidus (sh keskeriharidus) -1.0297743 -2.0022493 -0.05729919
## Põhiharidus-Kõrgharidus                     -1.9162861 -2.8721144 -0.96045787
##                                                 p adj
## Kõrgharidus-Keskharidus (sh keskeriharidus) 0.0000000
## Põhiharidus-Keskharidus (sh keskeriharidus) 0.0349434
## Põhiharidus-Kõrgharidus                     0.0000085

Tukey testi väljund annab paarikaupa võrdluses:

• kahe taseme vahelise vahelise erinevuse
• usaldusvahemiku (lwr ja upr)
• korrigeeritud p-väärtuse

1. Lineaarse mudeli eeldused on:

1. mõõtmised on üksteisest sõltumatud
2. mõõtmisi peab olema vähemalt 30
3. väärtused peavad olema logaritmitud
4. tunnused on normaaljaotusega

2. Vaata Näites 1 esitatud lineaarset mudelit sõnade äratundmise reaktsiooniaja ja sõna pikkuse seosest:

##             Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)
## (Intercept) 547.3792  35.949589 15.226300 3.130610e-27
## Length       30.2416   4.261484  7.096495 2.289494e-10

Estimate tulbas on mudeli hinnang reaktsiooniaja kestuse kohta

1. esimesel real väärtus siis, kui sõna pikkus on 0 tähemärki ja teisel real siis, kui tähemärke on 1
2. esimesel real keskmine ja teisel real see, kui palju sõna pikkus mõjutab
3. esimesel real keskmine ja teisel real siis, kui tähemärke on 1
4. esimesel real väärtus siis, kui sõna pikkus on 0 tähemärki ja teisel real ühe tähemärgi efekt

3. Vaata veel mudeli väljundit. Mis võiks olla reaktsiooniaeg, kui sõnas on 26 tähemärki

1. 547.38 + 26 * 30.24 = 1333.66 millisekundit
2. 26 * 547.38 + 26 * 30.24 = 1.50181410^{4} millisekundit
3. 547.38 + 30.24 = 577.62 millisekundit
4. nii pikka sõna ei ole

4. Nominaalse seletava tunnusega lineaarse mudeli lõikepunkt (Intercept) on

1. uuritava tunnuse väärtus siis, kui seletava tunnuse väärtus on 0
2. uuritava tunnuse väärtus, kui ükski seletava tunnuse tasemetest ei kehti
3. uuritava tunnuse väärus kõige sagesasema seletava tunnuse taseme korral
4. uuritava tunnuse väärtus seletava tunnuse baastaseme korral

5. Mudeli headust näitab

1. p-väärtus
2. R-ruut
3. seletava tunnuse p-väärtus
4. seletava tunnuse efekti suurus

6. Artiklis, kus raporteeritakse ANOVA testi tulemusi, on tekstis kirjas: F(2, 167)=27.532; p<0.001. Kuidas seda tõlgendada?

1. Andmestikus oli 170 mõõtmist, seletaval tunnusel 3 rühma, vähemalt üks oli teistest erinev
2. Andmestikus oli 170 mõõtmist, seletaval tunnusel 3 rühma, mis üksteisest erinesid
3. Andmestikus oli 167 mõõtmist, seletaval tunnusel 2 rühma, mis üksteisest erinesid
4. P-väärtus on väike, aga seal ei ole rohkem sisukat informatsiooni

7. Post-hoc test on:

1. alternatiiv t-testile, kui on rohkem kui kaks rühma
2. kordustestid, mida peab alati tegema, kui on rohkem kui kaks rühma
3. kordustestid kõikide faktori tasemete võrdlemiseks
4. kordustestid rohkem kui kahe tasemega faktori olulisuse kontrollimiseks