Õpiku "Diskreetse matemaatika elemendid"
ülesannete vastuseid ja lahendamisjuhiseid
1 Matemaatiline induktsioon
16. Juhis: induktsiooni sammu puhul tähistada xk + xk+1 = y.
17. Juhis: eraldada hulknurgast diagonaaliga üks kolmnurk.
22. Juhis: paneme tähele, et leidub auto, mis suudab oma bensiiniga sõita järgmise
autoni.
24. Juhis: kui lisada üks kõneleja juurde, siis peab kõnede arv
suurenema 2 võrra.
2 Kombinatoorika põhimõisted
1. 6759324.
2. 5184000.
3. 172800.
4. 672.
5. a) 2n(2n−1); b) 3n.
6. 28800.
7. 2880.
8. 288.
9. 1999.
10. 9012.
11. 2n−1.
12. 8694.
13. 88200.
14. 710579520.
15. 7200.
16. 45.
17. 15400.
18. 60466176.
19. C(n,k)C(k,n−k)/2 (eeldusel, et arv võib alata nulliga) või
C(n−1,k−1)C(k−1,n−k)/2 (eeldusel, et arv ei alga nulliga).
21. 25600.
22. 1785.
23. 924.
24. 171.
25. 10.
26. 14.
27. 12.
28. 8801.
29. 4690.
30. 38.
3 Binoomkordajad
1. Kui n on paaris, siis juhul k = n/2; kui n on paaritu, siis
juhtudel k = (n−1)/2 ja k = (n+1)/2.
2. C(14,7) = 3432, üldiselt C(k+l−2,k−1).
3. Diagonaalil B0Bn, inimeste arvud teeristidel annab
Pascali kolmnurga rida C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n).
4. Juhis: avaldada faktoriaalide kaudu.
5. Juhis: järeldused 1 ja 2.
6. Juhis: C(n−i,m−i)=C(n−i,n−m).
7. Juhis: näide 1.
8. Juhis: kombinatoorne interpretatsioon või seos
(1+x)n(1+x)m = (1+x)n+m.
9. Juhis: näide 4.
12. Juhis: kirjutada summamärgi alune avaldis lahti ja tuua
1/C(m,n) summamärgi ette.
19. C(m+n−1,n).
21. Juhis: esitada binoomkordajad polünoomidena muutujatest
a1 kuni ak.
22. Juhis: avaldada multinoomkordaja binoomkordajate kaudu.
23. Juhis: kasutada eeskujuna analoogilise omaduse tõestust
binoomkordajate juhul.
4 Rekurrentsed võrrandid
1. Juhis: induktsioon.
6. Juhis: induktsioon m järgi.
7. Juhis: kasutada eelmist võrdust.
8. Juhis: kasutada kahte eelmist võrdust.
10. Juhis: kasutada Fibonacci arvude arvutusvalemit või tõestada
paralleelinduktsiooniga, et kui vasaku pooles asendada Fi arvuga
Fi+1, siis on summa väärtus F2n+1.
14. Juhis: induktsioon m järgi.
17. Teise ristküliku diagonaal on tegelikult pikk rööpkülik
pindalaga 1.
18. Juhis: induktsioon.
19. Juhis: induktsioon arvu n kordsete järgi.
23. Ln = ((1+√5)/2)n + ((1−√5)/2)n.
25. c) 2.
26. An = 2n + (−1)n.
27. An = 3n+1 + 4n+1.
28. An = (n+1)·2n.
29. An = 2n+2/3+(−1)n/6−1/2.
30. An = (−1)·(−2)n+2·(−1)n+3n.
31. An = (3n−2n−1)/2.
32. An = 2·(−3)n + (−5)·(−2)n + (−1)n.
33. An = (1+n(1-n)/18)·3n.
34. An = (3+n)·(−1)n + (14+n)·7n−1.
35. An = 22(-1)n+1/2n. Juhis: teha muutujavahetus Bn = log2An.
36. an = (2n−5)3n−1+2n+1 (juhul n>0).
37. Fn+1.
38. Fn+1.
39. Koos tühja rühmaga Fn−1 + Fn+1.
40. 9136.
41. (1000/3)(3−(−1)n−1/2n−1).
42. 12.
43. 3·2n−2n−3.
5 Graafid
1. 2-tipulisi 2, 3-tipulisi 4, 4-tipulisi 11.
2. 4.
3. a) leidub; b) ei leidu; c) ei leidu; d) ei leidu; e) leidub.
4. Juhis: leida, milliseid väärtusi saab omandada inimese
käesurumiste arv.
5. a) Juhis: kui kõige rohkem suruks kätt linnapea naine, siis
ei saaks ükski külaline suruda kätt 0 korda. b) n. Juhis:
induktsioon.
7. jah.
9. ei.
10. 2n ja 2n−1n.
11. 728.
13. 5-tipulisi 3, 6-tipulisi 8, 7-tipulisi 6.
14. Juhis: võtta korrapärane n-nurk ja tõmmata selle suured
diagonaalid.
15. Juhis: lisada iga d-st puuduva serva kohta uus tipp,
viimased ühendada omavahel, et nende aste oleks d.
18. Juhis: ühest tipust väljub kolm ühte värvi serva.
19. Juhis: vaadata tipust väljuvate ühte värvi servade arvu ja
kasutada eelmise ülesande lahendust.
20. Väide kehtib.
21. Juhis: tõestada, et kui graaf ei
ole sidus, siis tema täiendgraafis pääseb igast tipust igasse teise.
22. Juhis: selline on kas rippuv tipp või kui selliseid pole,
siis suvaline tipp.
24. Juhis: lisada ajutine serv kahe paaritu astmega tipu vahele.
26. Juhis: esitada üks koridor kahe servaga tippude vahel.
27. n paaris.
28. Juhis: lisada üks tipp juurde ja ühendada ta kõigi paaritu
astmega tippudega.
29. kokku 5.
30. (n−1)!.
32. ei.
33. ei.
34. jah.
35. Juhis: värvimine.
36. Juhis: värvimine.
37. jah.
38. ei.
39. ei.
40. jah.
41. esimene ja kolmas ning teine ja neljas.
42. a) n=4k või n=4k+1; b) 4-tipulisi 1, 5-tipulisi 2.
43. Juhis: võtta eelmise ülesande
b)-osa 4-tipuline või 5-tipuline graaf ja asendada seal teatavad tipud
k-tipuliste täisgraafidega ja teatavad tipud k-tipuliste nullgraafidega.
6 Puud
1. 6-tipulisi 6, 7-tipulisi 11.
2. kõrgusega 1: 1, kõrgusega 2: 4, kõrgusega 3: 3, kõrgusega 4:
1.
3. Juhis: iga tipust lähtuv haru lõpeb vähemalt ühe lehega.
4. 2(n−1).
5. 17.
6. 5.
7. Juhis: esitada tipuastmete summa paaritute liidetavate
summana ja leida, millised esitused vastavad puule.
8. Juhis: induktsioon süsinikule vastava tipu aste on 4,
vesinikule vastava tipu aste 1.
9. Juhis: tegemist on kahe puu tipuastmete summa vahega.
10. Juhis: liikuda mööda ühte haru lehe poole.
11. Juhis: induktsioon n järgi.
12. s = (n−1)/k, l = n − (n−1)/k.
13. Selline on pikima lihtahela keskpunkt.
14. Juhis: vastasel korral leiduks puus tsükkel.
15. 2.
16. Juhis: konstrueerida graafi H alamgraaf puu G harude
kaupa.
17. Üks tsükkel, mille tippude külge kinnituvad puud.
18. (2, 3, 8, 5, 2, 8).
19. (2, 4, 4, 2, 2, 2).
20. (6, 1, 8, 4, 4, 1, 12, 9, 8, 12).
21. Koodi ülemine rida on (2, 3, 4, 5, 6, 7, 1).
22. Koodi ülemine rida on (7, 1, 2, 3, 4, 5, 6).
23. Koodi ülemine rida on (1, 4, 5, 6, 7, 8, 3, 2).
24. Koodi ülemine rida on (1, 2, 3, 6, 5, 4, 8, 7).
25. Koodi ülemine rida on (10, 6, 2, 7, 3, 1, 5, 9, 8, 4).
26. Koodi ülemine rida on (3, 4, 7, 8, 9, 10, 6, 2, 5, 1).
27. Tipu märgend lisatakse koodi iga kord, kui kustutatakse
temast lähtuv serv, kuni hetkeni, mil järele jääb üksainus serv.
28. Vastus sõltub sellest, milline tipp valida juureks; valides
keskmise tipu, saame koodi 1010101010101010.
29. Valides juureks ülemise tipu, saame koodi
1110100110100011101001101000.
30. Valides juureks ülemise vasakpoolse tipu, saame koodi
110101101011010000.
31. Ei leidu.
32. Leidub.
33. Leidub.
34. Leidub.
35. Kood peab sisaldama nulle ja ühtesid ühepalju ning iga i = 1, 2, ..., 2n−2 korral peab esimese i sümboli hulgas olema
ühtesid vähemalt samapalju kui nulle.
36. Juhis: eraldada puust järk-järgult rippuvaid tippe koodiga
10.
37. Võrrand on An+2 = 4An+1 − An, kusjuures A0 = 0,
A1 = 1.
38. Vähima aluspuu kaalude summa 36.
39. Vähima aluspuu kaalude summa 36.
40. Vähima aluspuu kaalude summa 46.
41. Juhis: kui alamgraaf ei sisaldaks serva e, siis oleks ta
mittesidus.
46. Juhis: kui N jagab ühe aluspuu kaheks sidusaks
komponendiks, siis tähistab P selle serva, mis liidab need komponendid
taas üheks.
47. Eeldame, et tipud A ja B kuuluvad alati graafi G.
7 Suunatud graafid
1. 00011101.
2. 0000111100101101.
3. a) Välja arvatud tipud 00...0 ja 11...1, on iga teise
tipu puhul sisenevaid ja väljuvaid kaari täpselt 2. b) Juhis:
induktsioon.
5. Juhis: lisada tippude a ja b vahele k kaart.
6. 3 komponenti, tippude arvud 4, 3, 3.
7. 4 komponenti, tippude arvud 5, 1, 1, 4.
8. 3 komponenti, tippude arvud 6, 1, 3.
9. 10 komponenti.
10. Juurde tuleb muretseda 1 tõlk.
11. Võib jääda samaks või väheneda suvalise arvu võrra.
12. Jah.
13. Juhis: ühendada paaritu astmega tipud omavahel servaga ja
leida saadud graafis Euleri tsükkel.
14. Juhis: induktsioon, baasiks võtta n=5 ja n=6.
15. Juhis: kui leiduks tipp, milleni
viiva ahela pikkus on vähemalt 3, siis
peaks selle tipu väljundaste olema maksimaalse väljundastmega tipust
vähemalt 1 võrra suurem.
16. Juhis: turniiri sidusad komponendid on lineaarselt
järjestatud; piisab muuta vastupidiseks esimest ja viimast komponenti
ühendava serva suund.
17. Juhis: tõestada, et
antud tipp kuulub kolmetipulisse sunnatud tsüklisse ja kasutada
induktsiooni.
22. Juhis: graafis võib leiduda tsükkel, mille kogukaal on
negatiivne; seda tsüklit korduvalt läbides võime kaalu järjest kahandada.
23. Juhis: asendada Floyd-Warshalli algoritmis liitmine
korrutamisega.
24. 60 minutit.
8 Relatsioonid
2. a) 2n2; b) 2n(n−1); c) 2[(n(n+1))/2]; d)
2[n(n−1)/2]; e) 2n.
3. Juhis: koostada funktsioonide y = −x2+1 ja y = x+1
graafikud.
5. Refleksiivne, sümmeetriline, transitiivne.
6. Antisümmeetriline.
7. Refleksiivne.
8. Refleksiivne, transitiivne.
9. Refleksiivne, antisümmeetriline, transitiivne.
10. Antirefleksiivne, antisümmeetriline.
11. Tühirelatsioon: antirefleksiivne, sümmeetriline,
antisümmeetriline, transitiivne; täisrelatsioon: refleksiivne,
sümmeetriline, transitiivne.
12. Refleksiivne, sümmeetriline.
13. Pole ühtegi nimetatud omadust.
14. Antirefleksiivne.
15. Võimalikud variandid on:
a) R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,4)};
b) R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (4,4)};
c) R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,4)};
d) tühirelatsioon;
e) tühirelatsioon või nt R = {(1,2)}.
16. a) iga tipu juures esineb
silmus; b) ühegi tipu juures pole silmust; c) kõik kaared erinevate
tippude vahel kahesuunalised;
d) kõik kaared erinevate tippude vahel ühesuunalised; e) iga suunatud
ahela korral leidub kaar algustipust lõpptippu.
17. Jah.
18. Jah.
19. Ei.
20. Jah.
21. Ei.
22. Jah.
23. Ei.
24. a) ei; b) kui sugulasteks lugeda ka nt poolvendi ja -õdesid,
siis ei; c) jah; d) et mõnes riigis kehtib topeltkodakondsus, siis ei;
e) ei.
25. Kokku 15 tükki.
28. Nii ühtesid kui teisi 19 tükki.
9 Tehted relatsioonidega
1. Esimene: pooltasand kolmnurkse väljalõikega, teine: kolmnurk.
2. Juhis: esitada pöördrelatsioon paaride loeteluna.
3. R o S = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (3,6)},
R o S−1 = {(1,4), (1,5), (2,4), (3,4), (3,6)},
S o S = {(4,4), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}.
4. R o S = {(x,y): y > 6x+5}, R−1 o S
täisrelatsioon.
5. 6.
6. Selline aste puudub.
7. (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,2), (2,5), (3,2), (3,4), (3,5), (4,2), (4,5), (5,2), (5,5).
8. täisrelatsioon.
9. (1,2), (1,5), (2,2), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,5), (5,2), (5,5).
10. a) (x,y) ∈ laps−1;
b) (x,y) ∈ laps2;
c) (x,y) ∈ (laps−1)2;
d) (x,y) ∈ (laps−1)+;
e) (x,y) ∈ (laps−1 o laps)\I;
f) (x,y) ∈ ((laps−1)* o laps*)*.
11. a) (x,y) ∈ allub o allub−1;
b) (x,y) ∈ (allub∩austab′) o (allub−1∩(austab′)−1);
c) (x,y) ∈ allub o (austab∩austab−1) o allub−1;
d) (x,y) ∈ allub−1 o (austab∩austab−1) o allub;
e) Juhis: ei leidu y-i alluvat, keda x ei austa;
f) Juhis: väljendada kõigepealt otsitava relatsiooni täiend.
12. a) kaar
= kaar−1;
b) kaar* = U;
c) (kaar∪kaar−1)* = U;
d) kaar∩I = ∅;
e) kaar*∩I = ∅.
13. Ükskõik millise võrratuse abil saab avaldada kõiki ülejäänud
relatsioone.
16. R = {(1,2)}, S = {(2,1)}.
17. Element z relatsioonis R o S ja element z
relatsioonis R o T võivad olla erinevad.
18. Valida näiteks R = {(1,2), (1,3)}, S = {(2,1)},
T = {(3,1)}.
20. Juhis: kui oleks mingi k korral Rk = ∅, siis
ka mingi k ≤ n korral Rk = ∅, millest järeldub, et
Rn = Rk o Rn−k = ∅.
21. a) lisada paarid (a,a), (c,c), (d,d), (c,d); b)
lisada paarid (a,a), (a,c), (c,a), (c,c), (c,d), (d,d); c)
sama mis eelmine.
22. Juhis: kasutada valemeid teoreemist 7 ja teoreemi
järeldusest 1.
23. Väide kehtib.
24. Väide ei kehti.
25. Sobib näiteks hulgal X = {1, 2, 3, 4} määratud
relatsioon R = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,1)}.
26. Juhis: korrutada sulud lahti.
28. Kõik, välja arvatud R o S.
29. R∩S, R−1.
30. R∩S, R−1, R+.
34. a) Kehtib; b) ei kehti.
35. R o R−1 on refleksiivne parajasti siis, kui iga
x ∈ X korral leidub y ∈ X, et (x,y) ∈ R.
36. Juhis: kasutada seost (R o S)−1 = S−1 o R−1.
10 Boole'i maatriksid
1. R&¬S.
2. [10101, 01110, 01110, 01110, 10101].
3. [101010, 010001, 011101, 010000, 101010, 011101].
5. A = [11, 11], B = [10, 01], C = [01, 10].
6. Juhis: Rk = {(x,y): |x−y| ≤ k}.
7. a) peadiagonaalil kõik 1; b) peadiagonaalil kõik 0; c)
sümmeetriline peadiagonaali suhtes; d) element ja temaga peadiagonaali
suhtes sümmeetriline element pole korraga 1.
9. R on, S on, T ei ole.
10. [01111, 00111, 00011, 00001, 00000].
11. täisrelatsioon.
12. piisab omistada arvutuste alguses maatriksi peadiagonaali
elementide väärtusteks 1.
13. Vähim saatmiste arv, millega viirus jõuab kõigisse
arvutitesse, on 3, see realiseerub juhul, kui algselt satub viirus
arvutisse 3, 4 või 7. Suurim saatmiste arv on 5, see realiseerub
arvutite 2, 5 ja 9 puhul.
14. Juhis: koostada Boole'i maatriks ja tõsta see vajalikku
astmesse. Neljaosaliste muusikapalade puhul saame vastusteks a)
135; b) 131; c) 94.
11 Jaguvus
1. Juhis: korrutada esimest arvu 2-ga.
2. Juhis: tõestada, et arv (ac+bd)−(ad+bc) jagub arvuga a−b.
3. Juhis: lahutada 6n ja tegurdada tulemus.
4. Juhis: uurida hulkliikme tegurite jagumist 2-ga, 3-ga ja
5-ga.
5. Juhis: olgu need arvud a−1, a ja a+1.
6. Juhis: arv (52)k − 1jagub arvuga 52−1.
7. Juhis: induktsioon.
8. 1, 2, 4, 5, 6, 9.
10. n on paaritu.
11. n on paaris.
12. a) q = 13, q = 6; b) q = −19, r = 3; c) q = −1,
r = 13.
14. 1147 = 31·37; 1716 = 22·3·11·13.
15. 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397.
16. 1, 2, 3, 5; neist 2 ja 3 ainult ühe arvu puhul.
17. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29; neist 2, 3 ja 5
ainult ühe arvu puhul.
18. Juhis: p2−q2 = (p−q)(p+q).
19. Juhis: see arv jagub arvuga a−1 (ülesanne 9).
20. Juhis: kui arvul n leiduks
päris-algtegur k, siis
saaks vaadeldava arvu esitada kujul ak−1, kus a>1.
21. Juhis: kui arvul n leiduks paaritu algtegur k, siis
saaks vaadeldava arvu esitada kujul ak+1.
22. Juhis: korrutades arve kujul 4n+1, saame alati jälle samal
kujul arvu.
23. Juhis: lähtuda teoreemi 3 tõestusest, valides seal
n = 4p1... pk+3.
24. Väide ei kehti n=6 korral.
25. n asemel peab olema p.
26. Juhis: lähtuda võrdusest ab=cp.
27. 24·3·53·73·112·13·19.
29. 6480.
30. 1944.
31. Juhis: iga algtegur peab olema vähemalt 2.
12 Suurim ühistegur
1. 17.
2. 13.
3. 31.
4. 3003.
5. 30.
6. 7.
7. 15/71.
8. 14/11.
9. 190 3/7.
10. murd on taandumatu.
11. Juhis: kasutada Eukleidese algoritmi.
12. Juhis: kasutada Eukleidese algoritmi. Teine võimalus on
tõestada, et kui x on arvude 15a+8b ja 13a+7b
ühistegur, siis on ta ka arvude a ja b ühistegur.
13. Juhis: kasutada Eukleidese algoritmi.
14. Juhis: vaadelda arvu m kordseid m·0, m·1 jne.
15. Juhis: esitada arv b kujul b = SÜT(a,b)k.
16. a=6, b=10, c=15.
17. Juhis: eeldustest saame, et ab on arvude bc ja ac
ühistegur.
18. Juhis: kasutada kanoonilist kuju.
19. Juhis: kanooniline kuju.
20. Juhis: järelduse 6 tõestus.
21. Juhis: Eukleidese algoritm.
22. Juhis: kanooniline kuju.
23. Juhis: an+1 annab suvalise eelneva liikmega jagades
jäägi 1.
24. Juhis: arvude a+b ja a−b iga ühistegur d jagab ka arve
2a ja 2b; seejuures võib d olla paaritu või paaris.
25. x=3, y=−5.
26. Juhis: teoreem 7.
27. Sobib ainult esimene variant. Ühe krooni maksmine: 17
53-kroonist, tagasi anda 20 45-kroonist.
28. Sobib näiteks x=2+5s+t,
y=200-12s-10t, z=t.
13 Kongruentsid
1. 0.
2. 1.
3. 8.
4. 0.
5. 0.
6. 1.
7. Juhis: a−b=mk.
8. Juhis: võrdusele a+um = b+vm rakendada Eukleidese
algoritmi, teiseks arvuks võtta m.
9. Juhis: tõestada, et arvud
a·0, a·1, ..., a·(m-1) annavad m-ga jagamisel erinevad
jäägid.
10. Juhis: ac−bd = (a−b)c + b(c−d).
11. Juhis: p | (a−b)(a+b).
12. Juhis: pärast sulgude avamist binoomvalemi põhjal jaguvad
kõik liikmed peale ap ja bp algarvuga p.
13. Juhis: lahutada ap−bp teguriteks, sulgudesse jääv p
liikme summa jagub p-ga.
14. Juhis: lähtuda võrdusest
C(n−1,k) = C(n,k) − C(n−1,k−1); kui n on algarv, siis C(n,k) jagub
n-ga; kui n ei ole algarv, siis leidub k, mille korral C(n,k) ei
jagu n-ga.
15. a) jah; b) ei. Juhis: vaadelda jaguvust 3-ga.
16. a) alustajal; b) alustaja vastasel. Juhis: vaadelda jaguvust
6-ga.
17. Korrutada pooli 34-ga.
18. 1, 3, 9, 27, 21.
19. 7-ga ja 13-ga: jagada numbrid kolmekaupa gruppidesse ja
moodustada neist gruppidest vahelduvate märkidega summa; 99-ga: jagada
numbrid kahekaupa gruppideks ja leida nende gruppide summa.
20. Juhis: vaadelda arve 1, 11, 111, 1111 jne.
21. Juhis: sama nagu eelmises ülesandes.
22. 1 ja 3.
23. Juhis: tõestada, et paaritu arvu ruut annab 8-ga jagades
alati jäägiks 1.
24. Juhis: vaadelda arvu ruutude jääke mooduli 4 järgi.
25. Juhis: vaadelda täisarvu ruudu jääke jagamisel 8-ga.
26. Ei. Juhis: vaadelda koordinaate mooduli 2 järgi.
27. 2n.
28. 2n.
29. 3.
30. 7.
31. 14.
32. 1.
33. 5.
34. 14.
35. Juhis: an+bn jagub arvuga a+b, kui n on paaritu.
36. Juhis: kasutada ruututõstmismeetodit. Teine võimalus:
232 = 24·(27)4 ≡ −(5·27)4.
37. Juhis: tõestada, et 237·73−1 on kongruentne 1-ga
nii mooduli 37 kui ka mooduli 73 järgi.
38. 5.
39. Juhis: Fermat' teoreem.
40. Juhis: kui a ei jagu 11-ga, siis a10−1 jagub
11-ga.
41. Juhis: Fermat' teoreemi abil kahandada astendajaid.
43. (p+1)/2.
44. Valida näiteks p=4, a=2.
45. Tekib a ühesõnalist klassi ja ap−a p-sõnalist klassi.
14 Kongruentside lahendamine
1. x ≡ 5 (mod 7).
2. x ≡ 4 (mod 13).
3. x ≡ 1 (mod 37).
4. x ≡ 21 (mod 67).
5. x ≡ 4 (mod 33).
6. x ≡ 200 (mod 551).
7. Mõlema mooduli järgi x ≡ 2, y ≡ 3.
8. x ≡ 158 (mod 210).
9. x ≡ 2063 (mod 2730).
10. x ≡ 85 (mod 120).
11. x ≡ 427 (mod 630).
12. Lahend puudub (teoreem 3b).
13. x ≡ 70a + 63b + 45c (mod 105).
14. a) 21; b) läbida tuleb 613 hammast/hambavahet; c) jah; d)
sellised, kus hamba ja hambavahe numbrite erinevus jagub 3-ga; e)
esimene.
15. 87 meetrit (+315k).
16. 365 päeva pärast (+462k).
17. 119 astet (+420k).
18. 21251 kuubikut (+216000k).
19. 95 minutit (+300k).
20. 167 päeva (+210k).
21. 16, 42, 72, 98.
22. x ≡ a·e1+b·e2 (mod mn).
23. Juhis: avaldada esimesest
kongruentsist x=c1+m1t ja asendada teise.
24. Juhis: teoreemi 2 tõestusest saab x-i avaldise.