Algebrate kategoorne ekvivalentsus ja inverssed monoidid

Algebraid A ja B nimetatakse kategoorselt ekvivalentseks, kui nende poolt tekitatud muutkondade vahel on niisugune kategoorne ekvivalents, mis viib algebra A algebraks B. Käesolevas töös uuritakse selliste lõplike algebrate kategoorset ekvivalentsi, mis on minimaalsed (st ei oma pärisalamalgebraid) ja tekitavad aritmeetilise muutkonna. Kui A on niisugune algebra, siis tema otseruudu alamalgebrad moodustavad binaarsete seoste korrutamise suhtes inversse monoidi (inverssete elementide rollis pöördseosed). Varasemast on teada, et vaadeldavasse klassi kuuluvad algebrad on kategoorselt ekvivalentsed parajasti siis, kui nende otseruutude alamalgebrate inverssed monoidid on isomorfsed. Käesolevas töös antakse vaadeldavas situatsioonis tekkivate inverssete monoidide kirjeldus. Osutub, et tegemist on lõplike inverssete monoididega S, mis rahuldavad järgmisi tingimusi:
1. kui x,y\in S ja x^{-1}y on idempotent, siis ka xy^{-1} on idempotent ja vastupidi;
2. kui x,y\in S ja x^{-1}y on idempotent, siis leidub ülemine raja x\vee y monoidi S loomuliku järjestuse mõttes;
3. S idempotendid moodustavad S loomuliku järjstuse mõttes distributiivse võre.

Esimesel ettekandel keskendun peamiselt vajaliku tausta loomisele. Järgmised kaks ettekannet on puhtal kujul poolrühmateooria, kus erilisi eelteadmisi vaja ei ole.