Idempotendid ja nende lahutused

Vaatame idempotentsete endomorfismidega seotud konstruktsioone ning mõisteid, nagu poolotsekorrutis ning täpsus ja lahutused lühikeste jadade jaoks.

Näiteks, kui on antud idempotentne vektorruumide endomorfism, ehk lineaarkujutus e : V ➜ V, mis rahuldab tingimust ee = e, saab kujutust e vaadata projektsioonina alamruumile im(e), ning V lahutub otsesummaks V \cong ker(e) \oplus im(e).

Sarnaselt saab käituda idempotentse rühmade endomorfismi e : G ➜ G, ee = e korral, kuid, kuigi meil on hulkadevaheline bijektsioon G \cong ker(e)× im(e), ei pruugi see bijektsioon (rühma mittekommutatiivsuse tagajärjel) olla rühmade isomorfism. Küll saab aga hulgal ker(e)× im(e) korrutamistehe defineerida nõnda, et see bijektsioon oleks isomorfism. Sellist korrigeeritud korrutamistehtega rühmade otsekorrutist kutsutakse rühmade poolotsekorrutiseks.

Vaatame, mida üldisemas kategooriateoreetilises kontekstis idempotentidega teha saab.