Kujutleme aatomit asetatuna valguslainesse, kus ostsilleeriv elektriväli $E(t)=E_0\cos(\omega t)$. Esimeses lähenduses ignoreerime sisemisi, tugevasti seotud elektrone ja keskendume vaid ühele "optilisele" elektronile aatomi välises elektronkihis. Kui elektrivälja $E$ poolt elektronile avaldatav jõud $eE$ on piisavalt nõrk (võrreldes aatomi sisemiste interaktsioonidega), siis võime ette kujutada, et selline elektriväli tingib vaid elektroni laengupilve väikese nihke tasakaaluasendist. Tegemist on justkui Hooke'i seadusele alluva elastse süsteemiga, mida iseloomustab teatav omavõnke- ehk resonantsisagedus $\omega_0$. Seega, kui laengupilve kese hälbib tasakaaluasendist distantsi $x$, siis tekib taastav jõud suurusega $m_e\omega_0^2x$. Ühel või teisel põhjusel kaotab ostsillaator võnkumise käigus ka energiat, näiteks sekundaarlainete kiirgamise tõttu. Mudelis saab seda formaalselt arvesse võtta, kaasates kiirusega $\dot x$ võrdelise dissipatsioonijõu. Kokkuvõttes ostsillaatori liikumisvõrrand tuleb selline: $$\ddot x +\gamma \dot x + \omega_0^2x = eE(t)/m_e.$$

$\gamma/\omega_0$

Selle võrrandi lahend saab olema eeldatavasti kujul $x(t)=A\cos(\omega t +\phi)$, kus amplituud $A$ ja faasinihe $\phi$ sõltuvad sundiva jõu sagedusest $\omega$. Vajalik matemaatiline analüüs on siiski mõistlik teostada kompleksesituses. Seega ostsilleeriva elektrivälja esitame kujul $E_0e^{i\omega t}$ ja võnkumise $x(t)$ kujul $\tilde A e^{i\omega t}$. Siin kompleksamplituud $\tilde A=A e^{i\phi}$ kätkeb informatsiooni nii amplituudi kui ka faasinihke kohta, seega kaob vajadus suurustega $A$ ja $\phi$ eraldi opereerida. Teeme mõlemad asendused liikumisvõrrandis: $$-\omega^2 \tilde A e^{i\omega t} + i\omega \gamma \tilde A e^{i\omega t} + \omega_0^2\tilde A e^{i\omega t}=(qE_0/m)e^{i\omega t}$$ Suurus $e^{i\omega t}$ taandub välja ja saame avaldada $\tilde A$: $$\tilde A = \frac{eE_0/m_e}{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma}.$$ Vahekokkuvõttena sõnastame järeldused sellise sundvõnkumisi teostava mehaanilise ostsillaatori kohta (vt graafikut):

• Väikestel sagedustel ($\omega\ll\omega_0$) on tegemist kvaasistatsionaarse olukorraga, st elektron suudab järgida sundivat jõudu ja faasinihe on nullilähedane.
• Kui $\omega=\omega_0$, on tegemist resonantsiga — võnkeamplituud saavutab maksimumi (sest nimetajas $\omega_0^2-\omega^2$ saab nulliks). Ühtlasi näeme, et $\tilde A$ on sel juhul imaginaarne ehk faasinihe on täpselt $-\pi/2$. See tähendab sisuliselt, et sundiv jõud on samas faasis mitte nihkega $x$, vaid kiirusega $\dot x$. Teiste sõnadega, sundiv jõud ja kiirus muudavad märki samaaegselt (nagu kiigele hoo andmisel).
• Suurtel sagedustel ($\omega\gg\omega_0$) elektron on praktiliselt vaba ja faasinihe on $-\pi$.

Laengukeskme nihe suurusega $x$ tähendab dipoolmomenti $ex$. Kui selliseid ostsillaatoreid on ruumalaühikus $N$, siis aine polarisatsioon (dipoolmomendi ruumtihedus) $P=exN$, mille kompleksamplituud $$\tilde P = eN\tilde A = \frac{e^2E_0/m_e}{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma}.$$ Teiselt poolt, aine kui terviku jaoks kirjeldatakse lineaarne optiline koste kujul $P=\varepsilon_0\chi E$, kus $\chi$ on aine dielektriline vastuvõtlikkus. Jällegi, kuna aine reageerib inertsiga, siis $P$ ja $E$ vahel võib olla ka faasinihe, nii et komplekskujul $$\tilde P=\varepsilon_0\tilde\chi E_0.$$ Võrdsustades need kaks $\tilde P$ avaldist ja taandades väljatugevuse, saame kompleksse dielektrilise vastuvõtlikkuse jaoks $$\tilde\chi=\frac{Ne^2}{\varepsilon_0m_e}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma}= \frac{\omega_\text{p}^2}{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma},\quad \omega_\text{p}= \sqrt{\frac{Ne^2}{\varepsilon_0m_e}}.$$ Konstant $\omega_\text{p}$ on nn plasmasagedus, mille tähendus selgub edaspidi. Viimaks keskkonna suhteline dielektriline läbitavus $$\tilde\varepsilon=1+\tilde\chi=1+\frac{\omega_\text{p}^2}{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma}$$ Tegelikkuses selliseid resonantse võib aines olla palju. Resonantsid, mis asuvad märksa suurematel sagedustel, tekitavad antud resonantsi ümbruses lihtsalt konstantse fooni. Seega veidi üldisemalt võime kirjutada $$\tilde\varepsilon=\varepsilon_\infty+\frac{\omega_\text{p}^2}{\omega_0^2-\omega^2+i\omega\gamma}$$

Suhteline dielektriline läbitavus on seotud murdumisnäitajaga $\tilde n$: $$\tilde\varepsilon=\tilde n^2=(n-i\kappa)^2.$$ Siin $\kappa$ ees olev märk sõltub sellest, milline on algsetes avaldistes märk $i\omega t$ ees. Näiteks, kui tasalainet kirjeldada kujul $E(x,t)=E_0e^{ikx-i\omega t}$, siis oleks $\tilde n=n+i\kappa$. Muidugi $n$ ja $\kappa$ väärtused sellest valikust ei sõltu.

Kui $\gamma$ on nullist erinev, siis esineb dissipatsioon ehk ainet läbides kiirgus osaliselt neeldub. Järelikult ruumiliselt ei saa tegemist olla enam rangelt siinuseline lainega, vaid selle laine amplituud peab järk-järgult kahanema. Kui kompleksesituses lainefunktsioon asetada lainevõrrandisse, saame $$\tilde k=\frac{\omega}{c}\tilde n,$$ nii et üldjuhul ka lainearvu tuleb vaadelda komplekssena. Asendades $\tilde n=n-i\kappa$, saame $$E(x, t)=E_0e^{i\omega t-i\tilde kx}=\left\{E_0 e^{-(\omega/c)\kappa x}\right\} e^{i\omega(t - nx/c)}.$$ Seega laine faasikiirus avaldub endiselt murdumisnäitaja reaalosa kaudu: $v=c/n$. Seevastu loogelistes sulgudes olev avaldis väljendab laine amplituudi vähenemist teepikkusega. Kuna kiiritustihedus $I\propto |E|^2$, saame siit tuntud neeldumisseaduse: $$I(x)=I_0e^{-\alpha x},$$ kus neeldumistegur avaldub kompleksse murdumisnäitaja imaginaarosa kaudu: $$\alpha=\frac{2\omega\kappa}{c}.$$

Resümeerime veel mõned huvipakkuvad järeldused Lorentzi ostsillaatori mudelist:

• Kui dissipatsioon on väike ($\gamma\sim 0$) ja $\omega\neq \omega_0$, on tegemist normaalse dispersiooniga, kus murdumisnäitaja on reaalne ja kasvab sagedusega: $$n^2=1+\frac{\omega_\text{p}^2}{\omega_0^2-\omega^2}.$$ Selline on olukord tüüpiliselt dielektriliste materjalide jaoks hea läbipaistvuse spektrialas.
• Kui $\omega\gg \omega_0$, võime murru nimetajas ära jätta väikese liikme $\omega_0^2$: $$\tilde n^2=1-\frac{\omega_\text{p}^2}{\omega^2}.$$ See tähendab, et elektronid on praktiliselt vabad ehk ostsillaatori mudelis taastavat jõudu ei ole. Selline on olukord plasmas või metallides, kus domineerivad vabad elektronid. Kui $\omega>\omega_\text{p}$, siis $\tilde n>0$ ehk $\tilde n$ on endiselt reaalne, nii et elektromagnetlaine saab sellises keskkonnas levida (nt röntgenkiirgus metallis). Kui aga $\omega<\omega_\text{p}$, siis $\tilde n^2<0$ ehk $\tilde n$ on imaginaarne ja laine levida ei saa. Fresneli peegeldusteguri avaldisest $R=|(1-\tilde n)/(1+\tilde n)|^2$ järeldub, et selliselt keskkonnalt valgus peegeldub täielikult.
• Kui dissipatsioon eksisteerib ($\gamma\neq 0$), siis resonantsile hästi lähedal ($\omega\sim \omega_0$) võime $\varepsilon$ avaldises kasutada lähendust $\omega_0^2-\omega^2=(\omega_0+\omega)(\omega_0-\omega)\approx 2\omega_0(\omega_0-\omega)$, mille tulemusena saame avaldada $$2n\kappa=-\Im(\varepsilon)=\frac{\gamma\omega_\text{p}^2/\omega_0}{4(\omega_0^2-\omega^2)+\gamma^2}$$ ehk neeldumisresonants on Lorentzi profiiliga ja ootuspäraselt seda laiem, mida suurem on $\gamma$.