Kujutleme aatomit asetatuna valguslainesse, kus ostsilleeriv elektriväli E(t)=E0cos(ωt). Esimeses lähenduses ignoreerime sisemisi, tugevasti seotud elektrone ja keskendume vaid ühele "optilisele" elektronile aatomi välises elektronkihis. Kui elektrivälja E poolt elektronile avaldatav jõud eE on piisavalt nõrk (võrreldes aatomi sisemiste interaktsioonidega), siis võime ette kujutada, et selline elektriväli tingib vaid elektroni laengupilve väikese nihke tasakaaluasendist. Tegemist on justkui Hooke'i seadusele alluva elastse süsteemiga, mida iseloomustab teatav omavõnke- ehk resonantsisagedus ω0. Seega, kui laengupilve kese hälbib tasakaaluasendist distantsi x, siis tekib taastav jõud suurusega meω20x. Ühel või teisel põhjusel kaotab ostsillaator võnkumise käigus ka energiat, näiteks sekundaarlainete kiirgamise tõttu. Mudelis saab seda formaalselt arvesse võtta, kaasates kiirusega ˙x võrdelise dissipatsioonijõu. Kokkuvõttes ostsillaatori liikumisvõrrand tuleb selline: ¨x+γ˙x+ω20x=eE(t)/me.
γ/ω0 | 0.100 |
Selle võrrandi lahend saab olema eeldatavasti kujul x(t)=Acos(ωt+ϕ), kus amplituud A ja faasinihe ϕ sõltuvad sundiva jõu sagedusest ω. Vajalik matemaatiline analüüs on siiski mõistlik teostada kompleksesituses. Seega ostsilleeriva elektrivälja esitame kujul E0eiωt ja võnkumise x(t) kujul ˜Aeiωt. Siin kompleksamplituud ˜A=Aeiϕ kätkeb informatsiooni nii amplituudi kui ka faasinihke kohta, seega kaob vajadus suurustega A ja ϕ eraldi opereerida. Teeme mõlemad asendused liikumisvõrrandis: −ω2˜Aeiωt+iωγ˜Aeiωt+ω20˜Aeiωt=(qE0/m)eiωt Suurus eiωt taandub välja ja saame avaldada ˜A: ˜A=eE0/meω20−ω2+iωγ. Vahekokkuvõttena sõnastame järeldused sellise sundvõnkumisi teostava mehaanilise ostsillaatori kohta (vt graafikut):
Laengukeskme nihe suurusega x tähendab dipoolmomenti ex. Kui selliseid ostsillaatoreid on ruumalaühikus N, siis aine polarisatsioon (dipoolmomendi ruumtihedus) P=exN, mille kompleksamplituud ˜P=eN˜A=e2E0/meω20−ω2+iωγ. Teiselt poolt, aine kui terviku jaoks kirjeldatakse lineaarne optiline koste kujul P=ε0χE, kus χ on aine dielektriline vastuvõtlikkus. Jällegi, kuna aine reageerib inertsiga, siis P ja E vahel võib olla ka faasinihe, nii et komplekskujul ˜P=ε0˜χE0. Võrdsustades need kaks ˜P avaldist ja taandades väljatugevuse, saame kompleksse dielektrilise vastuvõtlikkuse jaoks ˜χ=Ne2ε0me1ω20−ω2+iωγ=ω2pω20−ω2+iωγ,ωp=√Ne2ε0me. Konstant ωp on nn plasmasagedus, mille tähendus selgub edaspidi. Viimaks keskkonna suhteline dielektriline läbitavus ˜ε=1+˜χ=1+ω2pω20−ω2+iωγ Tegelikkuses selliseid resonantse võib aines olla palju. Resonantsid, mis asuvad märksa suurematel sagedustel, tekitavad antud resonantsi ümbruses lihtsalt konstantse fooni. Seega veidi üldisemalt võime kirjutada ˜ε=ε∞+ω2pω20−ω2+iωγ
Suhteline dielektriline läbitavus on seotud murdumisnäitajaga ˜n: ˜ε=˜n2=(n−iκ)2. Siin κ ees olev märk sõltub sellest, milline on algsetes avaldistes märk iωt ees. Näiteks, kui tasalainet kirjeldada kujul E(x,t)=E0eikx−iωt, siis oleks ˜n=n+iκ. Muidugi n ja κ väärtused sellest valikust ei sõltu.
Kui γ on nullist erinev, siis esineb dissipatsioon ehk ainet läbides kiirgus osaliselt neeldub. Järelikult ruumiliselt ei saa tegemist olla enam rangelt siinuseline lainega, vaid selle laine amplituud peab järk-järgult kahanema. Kui kompleksesituses lainefunktsioon asetada lainevõrrandisse, saame ˜k=ωc˜n, nii et üldjuhul ka lainearvu tuleb vaadelda komplekssena. Asendades ˜n=n−iκ, saame E(x,t)=E0eiωt−i˜kx={E0e−(ω/c)κx}eiω(t−nx/c). Seega laine faasikiirus avaldub endiselt murdumisnäitaja reaalosa kaudu: v=c/n. Seevastu loogelistes sulgudes olev avaldis väljendab laine amplituudi vähenemist teepikkusega. Kuna kiiritustihedus I∝|E|2, saame siit tuntud neeldumisseaduse: I(x)=I0e−αx, kus neeldumistegur avaldub kompleksse murdumisnäitaja imaginaarosa kaudu: α=2ωκc.
Resümeerime veel mõned huvipakkuvad järeldused Lorentzi ostsillaatori mudelist: