5.4 t-jaotus

Standardnormaaljaotuse kvantiile (nt 0,975-kvantiil on 1,96) saab keskväärtuse hinnangu usaldusvahemiku arvutamiseks kasutada, kui valim on piisavalt suur (hea oleks, kui > 100, veel parem, kui > 200 objekti). Nimelt, keskväärtuse hinnangu standardviga \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) sisaldab valimi juhuslikkusest tulenevat viga – nimetajas olev mõõtmistulemuste standardhälve \(s\) on seepärast natuke ebatäpne hinnang tegelikule standardhälbele \(\sigma\). Mida väiksem valim, seda ebatäpsem. Sel põhjusel tuleks kasutada väikse valimi puhul hoopis t-jaotuse kvantiile, mille väärtus sõltub otseselt valimi suurusest. Nimelt on t-jaotus peaaegu samasugune kui standardnormaaljaotus, ent mida väiksem on nn vabadusastmete arv (degrees of freedom, lihtsamas olukorras \(df = \text{valimi suurus} - 1\)), seda nn lapikum see jaotus on.

Tabel 5.4: t-jaotuse kvantiilid erineva \(n\) korral
Mitmes kvantiil:
n 0.8 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999
5 0.94 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 7.17
10 0.88 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 4.30
20 0.86 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 3.58
30 0.85 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 3.40
50 0.85 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 3.27
75 0.85 1.29 1.67 1.99 2.38 2.64 3.20
100 0.85 1.29 1.66 1.98 2.36 2.63 3.17
200 0.84 1.29 1.65 1.97 2.35 2.60 3.13

Alloleval joonisel on nelja erineva jaotuse kvantiilid:

  • N(0, 1) – normaaljaotus keskväärtusega 0, standardhälbega 1 (ehk standardnormaaljaotus)
  • t(df=4) – t-jaotus vabadusastmete arvuga 4 (ehk vastav valimi suurus on 5)
  • t(df=29) – t-jaotus vabadusastmete arvuga 29 (ehk vastav valimi suurus on 30)
  • t(df=99) – t-jaotus vabadusastmete arvuga 99 (ehk vastav valimi suurus on 100)

Joonis 5.8: Mõningate t-jaotuste ning standardnormaaljaotuse tihedusfunktsioonid koos kvantiilidega